Виды доказательств


Различают два вида доказательств: прямое и косвенное.


Построение доказательства, начинающегося условием и заканчивающегося заключением теоремы, носит название прямого. Путь рассмотрения некоторых случаев, исчерпывающих все возможности – это косвенное доказательство.


Прямое доказательство представляет собой цепочку правильных умозаключений так, что заключение каждого из них, кроме последнего, является посылкой в одном из последующих: АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage666.gif.


Пример. Доказать, что если a + b + c = 0, то aОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage458.gif+ bОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage458.gif+ cОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage458.gif= 3abc.Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage407.gif


Доказательство:  a + b = 0 (1)                               a + b = –c   (2)


                            (a + b)Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage458.gif = –cОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage458.gif  (3)                aОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage458.gif + bОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage458.gif+3ab(a + b) = –cОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage458.gif  (4)


         из (2) и (4):  aОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage458.gif + bОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage458.gif+3ab(–с)  = –cОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage458.gif  (5)             aОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage458.gif + bОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage458.gif+ cОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage458.gif= 3abc   (6)


Мы построили цепочку логических рассуждений:


(1) Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage268.gif (2) Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage268.gif (3) Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage268.gif ((2)Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage553.gif(4)) Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage268.gif (5) Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage268.gif (6), чем и доказали формулу.


К прямым доказательствам относят и метод полной индукции.


Пусть требуется доказать истинность высказывания (Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage618.gifхОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage002.gifХ) А(х). Если множество Х={ xОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage453.gif, xОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage454.gif, …, хОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage091.gif} конечно, то перебирая все элементы из Х можно установить истинность А(хОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage453.gif), А(хОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage454.gif), …, А(хОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage091.gif). Cледовательно и истинность А(х). Такой способ доказательства носит название полной индукции.


Пример. Пусть К = {5,7,11,13}. Доказать, что все элементы данного множества простые числа.


Доказательство: Простое число – это числа, имеющие только два делителя – 1 и само это число. Тогда 5 – простое число, 7 – простое число, 11 – простое число, 13 – простое число, что и требовалось доказать.


Пример. Приведем доказательство следующей теоремы: «Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.


Доказательство


I рассуждение.


Вертикальные углы равны (раньше доказанная теорема). Углы AOD и СОВ при вершине О – вертикальные (по определению).


Следовательно, ÐAOD  = ÐСОВ.


II рассуждение.                                             


Два треугольника равны, если две стороны и угол, заключенный между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу, заключенному между ними, другого треугольника (первый признак равенства треугольников).


В DAOD и DСOВ   OD = OB, OA = OC (по условию, ÐAOD = ÐСОВ (заключение рассуждения I).


III рассуждение.


В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы (ранее доказанный факт).


DAOD = DСOВ (заключение рассуждения II), ÐОВС и ÐОDA лежат в равных треугольниках против равных сторон.


Следовательно, ÐОВС и ÐОDA.


IV рассуждение.


Если внутренние накрест лежащие углы при прямых AD, BC и секущей BD параллельны (ранее известный факт),  ÐОВС и ÐОDA – внутренние накрест лежащие углы при прямых AD, BC и секущей BD. ÐОВС = ÐОDA (заключение рассуждения III).


Следовательно, AD = BC.


С помощью рассуждений V–VIII аналогичным образом получаем, что АВ || DC.


V рассуждение.


Если в четырехугольнике противолежащие стороны параллельны, то такой четырехугольник – параллелограмм (на основании определения параллелограмма).


В четырехугольнике ABCD  АD || BC и АВ || DC. Следовательно, четырехугольник ABCD – параллелограмм.


Доказательство завершено.


Если множество Х бесконечно, то его разбивают (если возможно) на конечное число попарно непересекающихся непустых подмножеств. Установив истинность для одного подмножества, делают общий вывод.


К косвенным доказательствам относят метод от противного и метод контрпозиции.





Просмотров 2544 Комментариев 0
Познавательно:
Скажи свое мнение:
Добавить комментарий
Имя:* E-Mail:*

Вопрос:
1+1=
Ответ:*
Введите два слова, показанных на изображении: *