Определение понятий


Всякий математический объект обладает определенными свойствами. Например, квадрат имеет равные стороны, равносторонний треугольник – равные углы, четные числа делятся на 2 и т.д. Данные объекты имеют и другие свойства: квадрат имеет прямые углы, равносторонний треугольник – равные стороны, четные числа на 1 больше нечетных в порядке их следования.


При выделении объекта из ряда других объектов различают его существенные и несущественные свойства.


Свойство считают существенным для объекта, если оно присуще этому объекту и без него не может существовать.


Несущественные свойства – это свойства, отсутствие которых не влияет на существование объекта.


Например, четные числа делятся на 2 – существенное свойство, больше на 1 – несущественное.


Чтобы понимать, что представляет собой объект, достаточно знать его существенные свойства. В этом случае говорят, что имеется понятие об этом объекте.


Условимся обозначать понятия строчными буквами латинского алфавита: a, b, c, …, z.


Когда говорят о математическом понятии, то обычно имеют в виду множество объектов, обозначаемых одним термином. Так, говоря о квадрате, имеют в виду геометрические фигуры, являющиеся квадратами. Считают, что множество всех квадратов составляет объем понятия «квадрат».


Объем понятия – это множество объектов, обозначаемых одним термином. Соответственно обозначаются большими буквами латинского алфавита: A, B, C…


Совокупность всех взаимосвязанных существенных свойств объекта, отраженных в данном понятии, составляет содержание понятия.


Рассмотрим, например, понятие «прямоугольник».


Объем понятия – это множество различных прямоугольников, а в его содержание входят такие свойства прямоугольников, как «иметь четыре прямых угла», «иметь равные противоположные стороны», «иметь равные диагонали» и т.д.


Между объемом понятия и его содержанием существует взаимосвязь: если увеличивается объем понятия, то уменьшается его содержание, и наоборот. Так, например, объем понятия «квадрат» является частью объема понятия «прямоугольник». В содержании понятия «квадрат» содержится больше свойств, чем в содержании понятия «прямоугольник».


Если объемы понятий  a и b не пересекаются, т.е. АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage006.gifВ=Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage004.gif, то говорят, что понятия a и b несовместимы.


Если объемы понятий a и b находятся в отношении пересечения, т.е. АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage006.gifВОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage538.gif, то понятия  совместимы.


Если объем понятия  а является собственным подмножеством объема понятия  b, т.е. АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage008.gifВ и АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage096.gifВ, то говорят, что:


1)    понятие а является видовым по отношению к понятию b , а понятие bродовым по отношению к a;


2)    понятие a уже, чем понятие b, а понятие b шире понятия а;


3)    понятие а есть частный случай понятия b, а понятие b есть обобщение понятия а.


Например, если а – «прямоугольник», b – «четырехугольник», то их объемы А и В находятся в отношении включения:  АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage008.gifВ и АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage096.gifВ, поскольку всякий прямоугольник является четырехугольником. Поэтому можно утверждать, что понятие «прямоугольник» – видовое по отношению к понятию «четырехугольник», а понятие «четырехугольник» – родовое по отношению к понятию «прямоугольник».


Если объемы понятий равны, т.е. А=В, то говорят, что понятия а и b тождественны.


Например, понятия «равносторонний треугольник» и «равноугольный треугольник» тождественны, так как их объемы совпадают.


Рассмотрим подробнее отношение вида и рода между понятиями. Во-первых, понятия рода и вида относительны: одно и то же понятие может быть родовым по отношению к одному понятию и видовым по отношению  к другому. Например, понятие «прямоугольник» – родовое по отношению к понятию «квадрат» и видовое по отношению к понятию «четырехугольник».


Во-вторых, для данного понятия часто можно указать несколько родовых понятий. Так, для понятия «прямоугольник» родовым являются понятия «четырехугольник», «параллелограмм», «многоугольник». Среди них можно указать ближайшее. Например, «параллелограмм».


В-третьих, видовое понятие обладает всеми свойствами родового понятия. Например, квадрат, являясь видовым понятием по отношению к понятию «прямоугольник», обладает всеми свойствами прямоугольника.


Так как объем понятия является множеством, удобно, устанавливая отношения между объемами понятий, изображать их при помощи кругов Эйлера. Установим отношения между некоторыми понятиями и изобразим отношения между их объемами на кругах Эйлера: 1)  а –  «целое число», 
b – «натуральное число», с – «отрицательное число»; 2) а – «дерево», b – «растение»,  с – «кустарник».


Решение: Выясним,  в каком отношении находятся данные объемы.


Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage539.gif1) Целое число может быть как положительным, так и отрицательным. Натуральные числа – это целые положительные. Отрицательные числа могут быть и целыми и дробными. Значит ВОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage008.gifА,  АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage006.gifС, ВОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage007.gifС. На кругах Эйлера это выглядит так:












 
 

Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage540.gif



 


 




                                                                                                            


                    Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage541.gif


2) Дерево и кустарник являются растениями. Следовательно, АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage008.gifВ и СОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage008.gifВ, причем  АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage007.gifС. Тогда данные отношения между объемами понятий
а – «дерево», b – «растение», с – «кустарник» можно изобразить следующим образом:


Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage542.gifОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage543.gif                 


Указание существенных свойств объекта, которые достаточны для его распознавания, является определением понятия об этом объекте.





Просмотров 14474 Комментариев 0
Познавательно:
Скажи свое мнение:
Добавить комментарий
Имя:* E-Mail:*

Вопрос:
1+1=
Ответ:*
Введите два слова, показанных на изображении: *