Декартово произведение множеств


В начальных классах ученики решают задачу: используя цифры 1, 2, 3 образовать всевозможные двузначные числа.


Путем перебора дети получают:   


                                    11   12   13


                                    21   22   23


                                    31   32   33


Запись каждого числа состоит из двух цифр, причем существенен порядок их следования. Например, из цифр 1, 2  образованы числа 12 и  21.


В том случае, когда важен порядок следования элементов множества, в математике говорят об упорядоченных наборах элементов. В данной задаче – упорядоченные пары (а; b), образованные из элементов а и b. Это (1; 2), (1; 3), (1; 4) и т.д. Первый элемент а называют первой координатой пары, элемент bвторой.


Значит, в нашей задаче мы оперировали множеством А={1, 2, 3} и образовывали всевозможные пары.


Рассмотрим другой пример. Пусть А={1, 2, 3}, B={4, 5}. Образуем всевозможные пары (а;b) так, что аОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage002.gifА, bОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage002.gifВ. Получим некоторое новое множество  {(1; 5), (1; 4), (2; 4), (2; 5), (3; 4), (3; 5)}, элементами которого являются упорядоченные пары чисел. Это новое множество называют декартовым произведением множеств А и В.


Декартовым произведением множеств А и В называется множество пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, вторая множеству В. Обозначают АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage094.gifВ. Таким образом  АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage094.gifВ = {(x;y) | xОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage002.gifA, yОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage002.gifB}.


Операцию нахождения декартового произведения множеств А и В называют декартовым умножением этих множеств.


Рассмотрим следующий пример. Известно, что АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage094.gifВ={(2, 3), (2, 5),    (2, 6), (3, 3), (3, 5), (3, 6)}. Установим, из каких элементов состоят множества А и В. Так как первая компонента пары декартового произведения принадлежит множеству  А, а вторая – множеству  В, то данные множества имеют следующий вид:  А={2, 3}, B={3, 5, 6}.


Перечислим элементы, принадлежащие множеству АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage094.gifВ, если
А={a, b, c, d},   B=A. Декартово произведение АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage094.gifВ={(a, a), (a, b), (a, c),
(a, d), (b, a), (b, b), (b, c), (b, d), (c, a), (c, b), (c, c), (c, d), (d, a), (d, b) ,(d, c), (d, d)}.


Количество пар в декартовом прoизведении АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage094.gifВ будет равно произведению числа элементов множества А и числа элементов множества В:   n(АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage094.gifВ)=n(A)Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage094.gifn(B).


В математике рассматривают не только упорядоченные пары, но и наборы из трех, четырех и т.д. элементов. Такие упорядоченные наборы называют кортежами. Так, набор (1, 5, 6) есть кортеж длины 3, так как в нем три элемента.


Используя понятие кортежа, можно определить понятие декартового произведения n множеств.


Декартовым произведением множеств АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage089.gif, АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage090.gif,…, AОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage091.gif называют множество кортежей длины n, образованных так, что первая компонента принадлежит множеству АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage089.gif, вторая – АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage090.gif, …, n-ая – множеству А: АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage089.gifОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage094.gifАОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage090.gifОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage094.gifОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage094.gifAОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage091.gif.


Пусть даны множества АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage089.gif={2, 3}; АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage090.gif={3, 4, 5}; AОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage095.gif={7, 8}. Декартово произведение АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage089.gifОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage094.gifАОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage090.gifОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage094.gifАОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage095.gif={ (2, 3, 7), (2, 3, 8), (2, 4, 7), (2, 4, 8), (2, 5, 7),
(2, 5, 8),(3, 3, 7), (3, 4, 7), (3, 3, 8), (3, 4, 8), (3, 5, 7), (3, 5, 8)}.





Просмотров 58856 Комментариев 2
Познавательно:
Скажи свое мнение:
1 Написал: zavx0z (24 января 2016 13:19) | Комментариев 0 | Группа: Гости
Тут ошибка в самом низу статьи в решении декартово произведении
{ (2, 3, 7), (2, 3, 8), (2, 4, 7), (2, 4, 8), (2, 5, 7), (2, 5, 8),(3, 3, 7), (3, 4, 7), (3, 3, 8), (3, 4, 8), (3, 5, 7), (3, 5, 8)}.

Нужно исправить на { (2, 3, 7), (2, 3, 8), (2, 4, 7), (2, 4, 8), (2, 5, 7), (2, 5, 8),(3, 3, 7), (3, 3, 8) , (3, 4, 7), (3, 4, 8), (3, 5, 7), (3, 5, 8)}.
2 Написал: ен (7 апреля 2016 05:06) | Комментариев 0 | Группа: Гости
zavx0z,
zavx0z,
zavx0z,
zavx0z,
zavx0z,
zavx0z,
zavx0z,
zavx0z,
Добавить комментарий
Имя:* E-Mail:*

Вопрос:
1+1=
Ответ:*
Введите два слова, показанных на изображении: *