Свойства операций над множествами


Из школьного курса математики нам известно, что такие операции над числами, как сложение и умножение обладают переместительным и сочетательным свойствами. Между собой эти операции связаны распределительным свойством.


Аналогичная ситуация и в случае, когда выполняются операции над множествами. Так, операцию пересечения двух множеств отождествляют с произведением чисел, а объединение этих множеств – с суммой чисел. Операции над множествами обладают и рядом свойств, аналогичных свойствам сложения и умножения чисел.


1) переместительные законы пересечения и объединения (коммутативность):


       АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage006.gifВ = ВОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage006.gifА                                            АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifВ = ВОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifА


2)    сочетательные законы пересечения и объединения (ассоциативность):                                     


      (АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage006.gifВ)Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage006.gifС = АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage006.gifОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage006.gifС)                           (АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifВ)Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifС = АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifС)


Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage001.gif3)   АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage006.gif А = А                                                 АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gif А = А


Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage001.gif4)   А Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage006.gifОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage004.gif =Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage004.gif                                                А Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage004.gif    = А


5)  А  Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage006.gif U = A                                              A Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifU = U                


6)Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage024.gifраспределительные законы (дистрибутивность):


     Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifВ)Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage006.gifС = (АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage006.gifС) Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage006.gifС)                 (АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage006.gifВ)Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifС = (АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifС)Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage006.gifОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifС)


7) законы включения:


           АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage006.gifОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifС)Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage008.gifОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage006.gifВ)Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage006.gifС)                  (АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage006.gifВ) (АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage006.gifС)Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage008.gifАОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage006.gifОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifС)Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage024.gif


Вычитание и дополнение также обладает рядом свойств.


8)  А' Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage006.gifА = Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage004.gif                                                А'Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifА = U 


9)  Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage006.gifВ)' = А'Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifВ'                                        (АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifВ)' = А'Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage006.gifВ'


10) Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage004.gif'= U                                                       U ' = Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage004.gif             


11) (A B) C = A (BОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifC)                             (A B) C = (A С) В


12) (AB)Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifB = AОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifB                                    (AB) Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage006.gif С = (AОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage006.gifB)(В Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage006.gifС)


13)  АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifС) = (АВ) Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage006.gif (АС)                    АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage006.gifС) = (АВ) Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifС)


                             


Если вы хотите успешно сдать ЕГЭ, то должны обязательно выучить все эти свойства.

Данные свойства можно проиллюстрировать на кругах Эйлера в соответствии с порядком действия, например, рассмотрим ассоциативность пересечения, так как оно не столь очевидно, как свойство коммутативности. Изобразим множества А, В, С в виде трех попарно пересекающихся кругов и изобразим множество Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage006.gifВ)Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage006.gifС на рис. 11, а множество АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage006.gifОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage006.gifС) на рис. 12.                           



Однако рассмотрим более строгие доказательства некоторых законов.

Например, докажем ассоциативность операции объединения Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifВ)Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifС = АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifС).


Чтобы доказать равенство двух множеств, надо убедиться, что каждый элемент множества Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifВ)Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifС содержится в множестве АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifС), и наоборот.


1. Пусть х – любой элемент множества Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifВ)Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifС. Тогда, по определению объединения, хОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage005.gif АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifВ или хОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage005.gifС.


Если хОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage005.gif АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifВ, то по определению объединения хОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage005.gifА или  хОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage005.gifВ.


В том случае, если хОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage005.gifА, то так же по определению объединения хОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage005.gifОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifВ)Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifС.


Если хОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage005.gifВ, то имеем, что хОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage005.gifВОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifС, а значит, хОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage005.gifОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifВ)Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifС.


Случай, когда хОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage005.gifА и хОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage005.gifВ, сводится к рассмотренным. Таким образом, из того, что хОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage005.gif АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifВ, следует, что хОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage005.gifОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifВ)Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifС.


Если  хОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage005.gifС, то по определению объединения, хОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage005.gifВОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifС, и, следовательно, хОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage005.gifОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifВ)Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifС.


Случай, когда хОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage005.gif АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifВ и хОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage005.gifС, сводится к рассмотренным выше.


Итак, мы показали, что каждый элемент множества Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifВ)Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifС содержится в множестве АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifС), т.е. Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifВ)Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifСОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage008.gifАОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifС).


Пусть у – любой элемент из множества  АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifС). Тогда по определению объединения, уОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage005.gifА,  уОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage005.gifВОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifС.


Если уОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage005.gifА, то по определению объединения,  уОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage005.gifАОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifВ, и, следовательно,  уОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage005.gif АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifС).


Если уОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage005.gifВОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifС, то уОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage005.gifВ или  уОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage005.gifС. В том случае, когда уОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage005.gifВ, то уОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage005.gifАОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifВ и, значит,  уОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage005.gifОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifВ)Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifС. Когда же уОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage005.gifС, то уОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage005.gifОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifВ)Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifС. Случай, когда уОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage005.gifВ и  уОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage005.gifС, сводится к уже рассмотренным.


Итак, мы показали, что каждый элемент множества АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifС) содержится в множестве Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifВ)Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifС, т.е. АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifС) Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage008.gif (АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifВ)Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifС.


Согласно определению равных множеств заключаем, что Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifВ)Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifС = АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifС).


Аналогично доказывается ассоциативность пересечения множеств и другие свойства операций над множествами.


Используя свойства операций над множествами, можно доказывать и другие равенства. Докажем, что для любых множеств  А  и  В верно равенство  'Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage006.gifВ)' = А Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifВ'.


Решение: Известно, что Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage006.gifВ)' = А 'Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifВ'. Применим эту формулу к выражению 'Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage006.gifВ)'. Получим 'Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage006.gifВ)'=(А')'Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifВ'. Но поскольку  (А')'=А, то имеем: (А')'Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifВ'= А Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifВ'.  Таким  образом, 'Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage006.gifВ)' = А Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage036.gifВ'.





Просмотров 29169 Комментариев 0
Познавательно:
Скажи свое мнение:
Добавить комментарий
Имя:* E-Mail:*

Вопрос:
1+1=
Ответ:*
Введите два слова, показанных на изображении: *