Операции над высказываниями


1. Операция отрицания.


Отрицанием высказывания А  называется высказывание, обозначаемое Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage549.gif (читается «не А», «неверно, что А»), которое истинно, когда А ложно и ложно, когда А – истинно.


Отрицающие друг друга высказывания  А и Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage549.gif называются противоположными.


Построим отрицание высказывания «число Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage552.gif =3,14». Это истинное высказывание. Тогда его отрицание будет следующим: «Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage552.gifОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage096.gif3,14» – ложное высказывание.


2. Операция конъюнкции.


Конъюнкцией высказываний А и В называется высказывание, обозначаемое АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage553.gifВ (читается «А и В»), истинные значения которого определяются в том и только том  случае, когда оба высказывания А и В истинны.


Конъюнкцию высказываний называют логическим произведением и часто обозначают АВ.


Пусть дано высказывание А – «в марте температура воздуха от 0Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage555.gifС до +7Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage555.gifС» и высказывание  В – «в Витебске идет дождь». Тогда АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage553.gifВ будет следующей: «в марте температура воздуха от 0Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage555.gifС до +7Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage555.gifС и в Витебске идет дождь». Данная конъюнкция будет истинной, если будут высказывания А и В истинными. Если же окажется, что температура была меньше 0Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage555.gifС или в Витебске не было дождя, то АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage553.gifВ будет ложной.


3. Операция дизъюнкции.


Дизъюнкцией высказываний А и В называется высказывание АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage556.gifВ  (А или В), которое истинно тогда и только тогда, когда хотя бы одно из высказываний  истинно и ложно – когда оба высказывания ложны.


Дизъюнкцию высказываний называют также логической суммой А+В.


Высказывание «4<5 или 4=5» является истинным. Так как высказывание «4<5» – истинное, а высказывание «4=5» – ложное, то АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage556.gifВ            представляет собой истинное высказывание «4Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage022.gif5».


4. Операция импликации.


Импликацией высказываний А и В называется высказывание АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage268.gifВ («если А, то В», «из А следует В»), значение которого ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно.


В импликации  АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage268.gifВ высказывание А называют основанием, или посылкой, а высказывание Вследствием, или заключением.


С помощью таблиц истинности это можно определить так:


Дано высказывание «Если число 12 делится на 2 и на 3, то оно делится на 6». Так как высказывание А –  «число 12 делится на 2» истинно, высказывание В – «число 12 делится на 3» также истинно, то и импликация АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage268.gifВ истинна.


5.  Эквиваленция высказываний.


Эквиваленцией высказываний А и В называется высказывание, обозначаемое АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage544.gifВ (А) (читается «А эквивалентно В», «А тогда и только тогда, когда В», «А необходимо и достаточно для В»), которое истинно тогда, когда А и В одновременно истинны или оба ложны.



Дано высказывание А – «число 5n делится на 2» и высказывание В – «число n является четным». Сформулируем эквиваленцию  АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage544.gifВ:


а)  число 5 делится на 2 тогда и только тогда, когда n – четное число;


b) условия: число 5n делится на 2 и что число n – четное, эквивалентны;


с)  для того чтобы число 5n делилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы n было четным;


d) для того чтобы n было четным, необходимо и достаточно, чтобы число 5n делилось на 2;


e) из того, что 5n делится на 2, следует, что n число четное и обратно. 


Два высказывания, составленные из высказываний А, В, С, …               с помощью  знаков Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage553.gif  , Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage556.gif , Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage268.gif , Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage544.gif и отрицания называют равносильными, если они имеют одну и ту же истинность при любых предположениях об истинности и ложности    А, В, С, …


Например,  АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage553.gifВ = ВОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage553.gifА,   АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage268.gifВ = Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage561.gifОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage556.gifВ.


Составные высказывания, принимающие значения истинности при всех наборах значений входящих в них элементарных высказываний, называют тавтологиями. Их называют и тождественно-истинными высказываниями или законами логики.


АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage556.gifОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage549.gif принимает значение истинности при любом наборе  истинности высказывания А. Значит, формула  АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage556.gifОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage549.gif является тавтологией.


Пусть символы Х, Y, Z, …обозначают произвольные высказывания. Каждое из них представляет собой переменное, которое может принимать два значения И и Л, и называется переменным элементарным высказыванием. В отличие от переменного, элементарное высказывание, имеющее определенное значение И или Л, называется постоянным.


Переменные элементарные высказывания Х, Y, Z, …есть формулы.


Действия над числами в числовых выражениях выполняются в определенном порядке: умножение и деление, затем сложение и вычитание. Аналогично и в логике высказываний логические операции выполняют по следующему правилу: операцию конъюнкции раньше дизъюнкции, и обе эти операции выполняют раньше операций импликации и эквиваленции.


Указанное правило помогает сократить число скобок в формулах.



Если в формулу алгебры высказываний вместо переменных Х, Y, Z, … подставить высказывания определенной истинности, то получим составное высказывание также определенной истинности. Заменив в конкретном составном высказывании элементарные высказывания соответствующими переменными, получим формулу, выражающую логическую структуру данного высказывания.


Любое высказывание можно формализовать, то есть, заменить его формулой.


Например, высказыванию «если число 60 делится на 3 и на 5, то 60 делится на 15» соответствует формула Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage553.gifВ)Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage268.gifС, где А – «число 60 делится на 3», В – «число 60 делится на 5», С – «число 60 делится на 15».


Для формализации высказываний поступают следующим образом:


1)    выделяют все элементарные высказывания и обозначают их соответствующими буквами;


2)    выделяют все логические связки и заменяют их логическими символами;


3)    расставляют скобки в соответствии со смыслом исходного высказывания, учитывая при этом правило расстановки скобок.


Если известно значение каждого высказывания, входящего в формулу, то с помощью таблиц истинности можно найти значение этой формулы.


Для составления таблицы (см. табл. 7) выписываются сначала элементарные переменные высказывания Х и Y, затем более сложные высказывания Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage575.gif     и Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage576.gif, входящие в эту формулу, затем более сложные высказывания

Нетрудно установить, что таблица имеет 2Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage456.gifстрок, где n – число элементарных переменных в формуле (в случае двух переменных – 4 строки, трех – 8 строк и т.д.).


Для удобства пользования таблицами значения истинности переменных записываются «И», значения лжи – «Л».


Значения формулы при любой комбинации значений переменных высказываний можно описать посредством таблицы.



Формула, принимающая значение истины хотя бы при одном значении входящих высказываний, называется выполнимой.


Например, АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage268.gifВ,  АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage544.gifВ – выполнимые.


Формулы, принимающие значение истинности при всех наборах значений входящих в них высказывательных переменных, называются тождественно истинными формулами или тавтологиями.


Формулы, принимающие значение лжи при всех наборах значений входящих в них высказывательных переменных, называются тождественно ложными или противоречиями.


Если формулы при всех наборах истинности и лжи входящих высказывательных переменных принимают одинаковые значения, то их называют равносильными. Запись АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage580.gifВ читается так: А равносильно В.





Просмотров 19177 Комментариев 0
Познавательно:
Скажи свое мнение:
Добавить комментарий
Имя:* E-Mail:*

Вопрос:
1+1=
Ответ:*
Введите два слова, показанных на изображении: *