Отношения между множествами


В математике изучают не только те или иные множества, но и отношения, взаимосвязи между ними.


Если множества А и В имеют общие элементы, т.е. элементы, принадлежащие множествам А и В одновременно, то говорят, что эти множества пересекаются. Например, пусть множество А = {a, b, c, d, e} и
B = {b, c, d, k, l}. Элементы b, d принадлежат и множеству А, и множеству В. Значит, множества А и В имеют общие элементы, а сами множества пересекаются: АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage006.gifВ. Если множества не имеют общих элементов, например,
А = {1, 2, 3} и B = {4, 5},то они не пересекаются: А Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage007.gifВ.


Иногда приходится рассматривать не все множество, а только его часть. Например, не все множество натуральных чисел, а только множество простых чисел. Тогда речь идет о подмножестве. Если любой элемент множества А  принадлежит так же и множеству В, то А называют подмножеством  В. Записывают АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage008.gifВ. Знак Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage008.gif  называют знаком включения.


Пусть даны множества: А = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, В = {1, 2, 3}. Элементы    1, 2, 3 принадлежит множеству А: 1Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage002.gifА. 2Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage002.gifА, 3Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage002.gifА. Но из этих же элементов состоит и все множество В. Значит множество В есть подмножество множества А:  ВОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage008.gif А. Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage009.gif


Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage010.gifОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage011.gifОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage012.gifЛюбое множество является подмножеством самого себя, т.е. АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage008.gifА. Пустое множество является подмножеством любого множества: ¾Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage008.gifА.  Все множества являются подмножествами одного и того же множества, называемого универсальным  U.


Приведем пример. Найдем все подмножества множества Х = {a,b,c}. Выпишем одноэлементные подмножества: {a}, {b}, {c}, затем двухэлементные: {a, b}, {a, c}, {b, c}, трехэлементные: {a, b, c} и множество, не содержащее ни одного элемента -Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage004.gif.


Количество подмножеств множества, состоящего из n элементов равно Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage013.gif. В нашем примере множество состоит из трех элементов, значит количество подмножеств равно  Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage014.gif=8.


Если множества состоят из одинаковых элементов и их количество равно, и каждый элемент множества  А  является элементом множества  В и наоборот, то  АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage008.gifВ и ВОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage008.gifА  и говорят, что множества А и В равны: А=В. Например, А={a, d, c, d},  B={c, b, d, а}, значит  А=В. Для равных множеств порядок их элементов не является существенным.


Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage015.gifОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage015.gifОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage001.gifОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage001.gifТаким образом, между множествами возникают следующие отношения: множества могут пересекаться, не пересекаться, быть равными и включаться одно в другое.


Для наглядности употребляют изображения множеств на плоскости, которые называют диаграммами Эйлера-Венна (множества наглядно представляют в виде кругов, овалов), где штриховкой обозначают нужные области. Тогда вышеперечисленные отношения можно изобразить следующим образом.


Нередко бывает так, что рассматривают только подмножества одного и того же множества I. Такое множество I называют универсальным множеством. Так, если А – множество студентов первого курса, В – множество студенток в этом же институте, С – множество спортсменов этого же института, то в качестве универсального множества I можно взять множество студентов данного института, потому, что тогда АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage008.gifI, BОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage008.gifI, CОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage008.gifI. На диаграммах Эйлера-Венна универсальное множество часто изображается в виде прямоугольника, а его подмножества – кругами.


Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage019.gifРазличные числовые множества можно изображать на числовой прямой. Пусть а и b различные числа такие, что а<b. Тогда их запись и изображение таково:





















       
   

 


 

 


 

 




 


Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage028.gif


Например, изобразим решение неравенства 3<x<7.


 В данном случае, это будут все действительные числа, расположенные между 3 и 7. Это можно записать так: (3; 7).              Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage029.gif


Найдем пересечение и объединение множеств : а) (-Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage023.gif;7]  и   [1;+Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage023.gif); b) (-Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage023.gif;7]  и  [9; +Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage023.gif).


Изобразим множества на числовой прямой. Там, где будет наложение двух штриховок – пересечение множеств, где есть хотя бы одна штриховка – объединение данных множеств.


Рассмотрим такую задачу: выясним, как связаны между собой множество   А – четных  чисел и множество  В – чисел, кратных  4.


1.     Не все четные числа делятся на 4, например, 14. Значит равенство А=В невозможно.


2.     Множества А и В пересекаются, так как содержат общие элементы – четные числа, кратные 4, например 12.


3.     Всякое число, кратное 4, является четным. Поэтому, множество В является подмножеством множества А: ВОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage008.gifА.


Описание: Овал: вОписание: Овал: А Данное решение можно изобразить при помощи диаграмм Эйлера-Венна.


Понятие множества является обобщением понятия части и целого, которые осваивают младшие школьники, выполняя разные задания. Например, «назови среди данных чисел четные», «среди данных четырехугольников найди квадраты».





Просмотров 26723 Комментариев 0
Познавательно:
Скажи свое мнение:
Добавить комментарий
Имя:* E-Mail:*

Вопрос:
1+1=
Ответ:*
Введите два слова, показанных на изображении: *