Необходимые и достаточные условия


Понятие отношения следования между предложениями позволяет уточнить смысл слов «необходимо» и «достаточно», которые часто употребляются в математике.


Если из предложения А следует предложение В, то говорят, что В – необходимое условие для А, а А – достаточное условие для В.


Другими словами, предикат В(х) логически следует из предиката А(х), т.е.  А(х)Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage268.gifВ(х), то А(х) называют достаточным условием для В(х), а В(х) – необходимым условием для А(х).












 
 

Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage627.gif



 




                            условие необходимости:  АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage268.gifВ


                            условие достаточности:  ВОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage268.gifА


Если же предложения А и В равносильны, то говорят, что А – необходимое условие для В, и наоборот.


Другими словами, если из предиката А(х) логически следует предикат В(х), а из предиката В(х) логически следует предикат А(х), т.е. А(х)Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage544.gifВ(х), то А(х)необходимое и достаточное условие для В(х), а В(х) – необходимое и достаточное условие для А(х).


Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage628.gif 


                      условие необходимости и достаточности:


                                                   АОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage544.gifВ


В начальном курсе математики слова «необходимо» и «достаточно», как правило, не употребляются, но зато широко используются их синонимы – «нужно» и «можно».


Приведем пример. В первой коробке 6 карандашей, во второй – на 2 меньше. Сколько карандашей в двух коробках?


Один из возможных путей поиска решения задачи может быть таким. Учитель спрашивает: можно ли сразу узнать, сколько карандашей (т.е. достаточно ли данных в задаче, чтобы сразу ответить на ее вопрос)?


Учащийся отвечает: нельзя, так как нужно знать, сколько карандашей во второй коробке (т.е. необходимо знать).


Учитель далее спрашивает: можно ли узнать количество карандашей во второй коробке? (т.е. достаточно ли данных в задаче, чтобы сразу ответить на этот вопрос)?


Ученик отвечает: можно.


Учитель спрашивает: что для этого нужно сделать? И т.д.


Правильное употребление слов «нужно» и «можно» – залог успеха в использовании слов «необходимо» и «достаточно» при дальнейшем изучении математики.


Рассмотрим следующие примеры.


1. Вместо многоточия вставим термины «необходимо», «достаточно» или «необходимо и достаточно»: «Для того чтобы число х являлось делителем числа 15, …, чтобы число х являлось делителем  числа 5».


Решение: Введем обозначения: С(х) – «число х делитель числа 5», В(х) – «число х – делитель числа 15».


Для ответа на вопрос задачи нужно выяснить, каким условием является предикат С(х) для предиката В(х).


Для проверки достаточности предиката С(х) выясним, находятся ли С(х) и В(х) в отношении следования. Так как Т Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage629.gif= {1, 5}, а Т Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage626.gif= {1, 3, 5, 15}, то Т Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage629.gifОписание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage008.gifТ Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage626.gif и, следовательно, С(х)Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage268.gifВ(х). Истинность последнего высказывания означает, что С(х) является достаточным условием для В(х).


Проверим, является ли С(х) необходимым условием для В(х), выяснив, истинно ли высказывание  В(х)Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage268.gifС(х).


Так как найдется такое значение х (например, х = 3), при котором В(х) истинно, а С(х) ложно, то высказывание В(х)Описание: E:Для сайтаПрограммыЗеброид 4tempword_1.filesimage268.gifС(х) ложно и, следовательно, С(х) не является необходимым условием для В(х).


Таким образом, вместо многоточия можно вставить термин «достаточно»: «Для того чтобы число х являлось делителем числа 15, достаточно, чтобы х являлось делителем числа 5».


2. Дано предложение: «Для того чтобы четырехугольник был ромбом, необходимо, чтобы его диагонали были взаимно перпендикулярны». Выясним, нельзя ли сформулировать это предложение по-другому.


Поскольку предложение «Диагонали ромба взаимно перпендикулярны» вытекает из предложения «Четырехугольник – ромб», то предложение «Для того чтобы четырехугольник был ромбом, необходимо, чтобы его диагонали были взаимно перпендикулярны» можно сформулировать еще так:


1)    Из того, что четырехугольник – ромб, следует, что его диагонали взаимно перпендикулярны.


2)    Во всяком ромбе диагонали взаимно перпендикулярны.


3)    Если четырехугольник – ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны.


4)    Чтобы диагонали четырехугольника были взаимно перпендикулярны, достаточно, чтобы он был ромбом.


3. Вставить слова «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно»  в предложение «Для того чтобы натуральное число делилось на 6, …, чтобы оно делилось на 2».


Решение: Пусть предложение А – «число делится на 6», В – «Число делится на 2». Тогда, для того чтобы выполнялось условие необходимости, из предложения А должно логически следовать предложение В, а чтобы выполнялось условие достаточности – предложение А должно логически следовать из В.


Действительно, любое число, которое делится на 6, делится на 2. Значит, выполняется условие необходимости. И не верно, что любое число, делящееся на 2, делится на 6 (например, 14 делится на 2, но не делится на 6).


Значит, условие достаточности не выполняется, а вместо многоточия нужно вставить термин «необходимо»: «Для того чтобы натуральное число делилось на 6, необходимо, чтобы оно делилось на 2».





Просмотров 10846 Комментариев 0
Познавательно:
Скажи свое мнение:
Добавить комментарий
Имя:* E-Mail:*

Вопрос:
1+1=
Ответ:*
Введите два слова, показанных на изображении: *