Основные методы решения алгебраических неравенств


1. Линейные неравенства, т.е. неравенства вида ax > b, где
a и b – действительные числа, а х – неизвестное.


В зависимости от коэффициентов a и b решением линейного неравенства может быть либо неограниченный промежуток, либо вся числовая прямая, либо пустое множество.


Задача. Решить неравенство 4x + 5 > 2(2х – 3).


Решение. 4x + 5 > 2(2х – 3) Û 4x + 5 > 4х – 6 Û 4x + 5 – 4х + 6 > 0 Û


Û 11 > 0 Þ х Î R.


2. Квадратные неравенства имеют вид  ax2 + bx + c > 0 (< 0), a ¹ 0.


Решение квадратных неравенств основано на применении свойств квадратичной функции, которые допускают наглядную геометрическую интерпретацию, а также методом интервалов.


Задача. Решить неравенство 3x2 – 7x + 2 > 0.


Решение. Найдем дискриминант квадратного трехчлена 3x2 – 7x + 2: D = 49 – 24 = 25. Вычислим его корни: Основные методы решения алгебраических неравенств.


Основные методы решения алгебраических неравенствСхематично выполним соответствующий рисунок параболы:


По рисунку найдем решение данного неравенства:


Основные методы решения алгебраических неравенств.


3. Алгебраические неравенства высших степеней, т.е. неравенства вида anxn + an-1x n-1 + a1x + a0 > 0 (< 0), n > 2.


С помощью методов решения алгебраических уравнений многочлен степени n > 2 разложить на множители, т.е. неравенство записать в виде


an (x – x1) (x – x2) × … × (x – xn) > 0 (< 0).


При этом следует сокращать на заведомо положительные выражения или отрицательные (в последнем случае знак неравенства менять на противоположный). Затем методом интервалов найти решение.


Задача. Решить неравенство x4 – 6x3 + 11x2 – 6x < 0.


Решение. x4 – 6x3 + 11x2 – 6x < 0 Û х (x3 – 6x2 + 11x – 6) < 0 Û


Û х (x3 – x2 – 5x2 +  5x + 6x – 6) < 0 Û х (x – 1) (x2 – 5x + 6) < 0 Û


Û х (x – 1) (x – 2) (x – 3) < 0.


Используем метод интервалов:













 
  Основные методы решения алгебраических неравенств
 




По рисунку запишем решение данного неравенства х Î (0; 1) È (2; 3).


4. Дробно-рациональные неравенства. При решении таких неравенств можно придерживаться следующей схемы: перенести все члены неравенства в левую часть; все члены неравенства в левой части привести к общему знаменателю, т.е. неравенство записать в виде Основные методы решения алгебраических неравенств; решить полученное уравнение методом интервалов.


Задача. Решить неравенство Основные методы решения алгебраических неравенств.


Решение. Основные методы решения алгебраических неравенств Û Основные методы решения алгебраических неравенств Û


Û Основные методы решения алгебраических неравенств Û Основные методы решения алгебраических неравенств Û


ÛОсновные методы решения алгебраических неравенств.


Используем метод интервалов:













 
  Основные методы решения алгебраических неравенств
 




По рисунку запишем решение неравенства: х Î (1; 3) È (3; 5).


5. Неравенства с модулем. При решении неравенств с неизвестными под знаком модуля пользуются определением модуля, его свойствами, методом промежутков.


Задача. Решить неравенство |x – 3| + |x + 2| – x > 5.


Решение. На числовой оси отметим значения, при которых х – 3 = 0 и х + 2 = 0.













 
  Основные методы решения алгебраических неравенств
 


 



Рассмотрим неравенство на каждом из полученных промежутков.


а) Если х < 2, то неравенство принимает вид  –x + 3 – x – 2 – x > 5,  т.е. 3x > 4, Основные методы решения алгебраических неравенств.


Из соотношений х < –2 и Основные методы решения алгебраических неравенств следует, что х < –2 является решением данного неравенства.


б) Если –2 £ х < 3, то неравенство примет вид  –x + 3 + x + 2 – x >5,
т.е. –x > 0, х < 0.


Из соотношений –2 £ х < 3 и х < 0 следует, что –2 £ х < 3 является решением данного неравенства.


в) Если х ³ 3, то x – 3 + x + 2 – x > 5, т.е. x > 6, является решением данного неравенства.


Объединим найденные решения данного неравенства на различных промежутках и получим окончательное решение (–¥; 0) È (6; ¥).


Задача. Решить неравенство |x + 2| ³ |x|.


Решение. Так как обе части неравенства неотрицательны при любых х Î R, то можно выстроить «цепочку» равносильных неравенств:


|x + 2| ³ |x| Û (x + 2)2 ³ x2 Û x2 + 4x + 4 ³ 0 Û 4x + 4 ³ 0 Û 4x ³ –4 Þ Þ х  ³ –1.


Полученное решение и будет решением данного неравенства.


Упражнения для самостоятельной работы


1. Решите неравенства:


а) Основные методы решения алгебраических неравенств;                        в) Основные методы решения алгебраических неравенств;


б) Основные методы решения алгебраических неравенств;                         г) Основные методы решения алгебраических неравенств.


2. Решите неравенства:


а) 1 + x – 2x2 < 0;                     в) 3x2 – 7x + 5 £ 0;


б) 3x2 – 12x + 12 £ 0;                        г) 2x2 – 12x + 18 > 0.


3. Решите неравенства:


а) (5x – 1)(2 – 3x)(x + 3) > 0;             в) (x – 3)(x – 1)2(3x – 6 – х2) < 0;


б) x3 + 5x2 + 3x – 9 £ 0;            г) (x2 – х)2 + 3(х2 – х) + 2 ³ 0.


 


4. Решите неравенства:


а) Основные методы решения алгебраических неравенств;                    в) Основные методы решения алгебраических неравенств;


б) Основные методы решения алгебраических неравенств;                     г) Основные методы решения алгебраических неравенств.


5. Решите неравенства:


а) |x + 1| + |x – 1| < 4;                        в)  |x + 3| < |x – 1|;


б) |x| + |x – 1| > 1;                     г)  |x2 – 14| > |x2 – 4|.





Просмотров 12352 Комментариев 0
Познавательно:
Скажи свое мнение:
Добавить комментарий
Имя:* E-Mail:*

Вопрос:
1+1=
Ответ:*
Введите два слова, показанных на изображении: *