Неравенства с одной переменной


Пусть  f(x) и g(x) – два выражения с переменной х и областью определения Х. Тогда неравенство вида f(x) > g(x) или f(x) < g(x) называется неравенством с одной переменной. Множество Х называется областью его определения.


Значение переменной х из множества Х, при котором неравенство обращается в истинное числовое неравенство, называется его решением. Решить неравенство – это значит найти множество его решений.


В основе решения неравенств с одной переменной лежит понятие равносильности.


Два неравенства называются равносильными, если их множества решений равны.


Теоремы о равносильности неравенств и следствия из них аналогичны соответствующим теоремам о равносильности уравнений. При их доказательстве используются свойства истинных числовых неравенств.


Теорема 1. Пусть неравенство f(x) > g(x) задано на множестве Х и h(x) – выражение, определенное на том же множестве. Тогда неравенства  f(x) > g(x) и f(x) + h(x) > g(x) + h(x) равносильны на множестве Х.


Из этой теоремы вытекают следствия, которые часто используют при решении неравенств:


1) Если к обеим частям неравенства f(x) > g(x) прибавить одно и то же число d, то получим неравенство f(x) + d  > g(x) + d, равносильное исходному.


2) Если какое-либо слагаемое (числовое выражение или выражение с переменной) перенести из одной части неравенства в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.


Теорема 2. Пусть неравенство f(x) > g(x) задано на множестве Х и h(x) – выражение, определенное на том же множестве, и для всех  х из множества Х выражение h(x) принимает положительные значения. Тогда неравенства  f(x) > g(x) и f(x) × h(x) > g(x) × h(x) равносильны на множествеХ.


Из этой теоремы вытекает следствие: если обе части неравенства f(x) > g(x) умножить на одно и то же положительное число d, то получим неравенство f(x) × d  > g(x) × d, равносильное данному.


Теорема 3. Пусть неравенство f(x) > g(x) задано на множестве Х и h(x) – выражение, определенное на том же множестве, и для всех  х из множества Х выражение h(x) принимает отрицательные значения. Тогда неравенства  f(x) > g(x) и f(x) × h(x) < g(x) × h(x) равносильны на множестве Х.


Из этой теоремы вытекает следствие: если обе части неравенства f(x) > g(x) умножить на одно и то же отрицательное число d и знак неравенства поменять на противоположный, то получим неравенство f(x) × g(x× d, равносильное данному.


Задача. Является ли число х = 5 решением неравенства 2х + 7 > 10 – х, х Î R? Найти множество решений этого неравенства.


Решение. Число х = 5 является  решением неравенства
2х + 7 > 10 – х, так как 2×5 + 7 > 10 – 5 – истинное числовое неравенство. А множество его решений – это промежуток (1; ¥), который находят, выполняя преобразование неравенства 2х + 7 > 10 – х Þ 3х > 3 Þ х > 1.


Задача. Решить неравенство 5х – 5 < 2х + 16 и обосновать все преобразования, которые будут выполняться в процессе решения.


Решение.






















Преобразования



Обоснование преобразований



1. Перенесем выражение 2х в левую часть, а число –5 в правую, поменяв их знаки на противоположные: 5х – 2х < 16 + 5.



Воспользовались следствием 2 из теоремы 3, получили неравенство, равносильное исходному.



2. Приведем подобные члены в левой и правой частях неравенства: 3х  < 21.



Выполнили тождественные преобразования выражений в левой и правой частях неравенства – они не нарушили равносильности неравенств: данного и исходного.



3. Разделим обе части неравенства на 3: х < 7.



Воспользовались следствием из теоремы 4, получили неравенство, равносильное исходному.



Решением неравенства х < 7 является промежуток (–¥; 7) и, следовательно, множеством решений неравенства 5х – 5 < 2х + 16 является промежуток (–¥; 7).


Задача. Равносильны ли неравенства 2х + 7 > 10  и 2х > 3?


Решение. Данные неравенства равносильны, так как их множества решений равны и представляют собой промежуток Неравенства с одной переменной.


Упражнения для самостоятельной работы


1.         Являются ли числа 3 и 4,25 решениями неравенства  
6(2х + 7) < 15(х + 2)?


2. Равносильны ли на множестве R следующие пары неравенств:


a) –17x < –51 и х > 3;              в) 6 –5x > –4 и х < 2;


б) Неравенства с одной переменной и 3х ­– 1 > 0;          г) Неравенства с одной переменнойи 2х + 3 > 0?


3. Решите неравенства и обоснуйте преобразования, которые будете при этом выполнять:


а) Неравенства с одной переменной;


б) Неравенства с одной переменной;


в) (0,4х – 2) – (1,5х + 1) ³ 3,6 + (–4х – 0,8);


г) Неравенства с одной переменной.





Просмотров 17213 Комментариев 0
Познавательно:
Скажи свое мнение:
Добавить комментарий
Имя:* E-Mail:*

Вопрос:
1+1=
Ответ:*
Введите два слова, показанных на изображении: *