Признаки делимости


Признаком делимости на число b называется правило, позволяющее по записи числа a узнать, делится ли оно на b, не выполняя непосредственно деления числа a на b.


Признак делимости на 2. Для того чтобы число X делилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы его десятичная запись оканчивалась одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8.


Признак делимости на 5. Для того чтобы число X делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы его десятичная запись оканчивалась цифрой  0 или 5.


Признак делимости на 4. Для того чтобы число X делилось на 4, необходимо и достаточно, чтобы на 4 делилось двузначное число, образованное последними двумя цифрами десятичной записи числа X.


Признак делимости на 9. Для того чтобы число X делилось на 9, необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр его десятичной записи делилась на 9.


Признак делимости на 3. Для того чтобы число X делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр его десятичной записи делилась на 3.


Признак делимости на 25. Для того чтобы число X делилось на 25, необходимо и достаточно, чтобы его десятичная запись оканчивалась на 00, 25, 50, 75.


Признак делимости Паскаля.


Число Признаки делимости  (1) делится на число b тогда и только тогда, когда на b делится сумма Признаки делимости, где r1, r2, … , rn остатки от деления на b разрядных единиц 10, 102, ..., 10n.


Доказательство. Разделим на b каждую из разрядных единиц числа х, получим: 10 = bq1 +r1, 102 = bq2 +r2, … , 10n-1 = bqn-1 +rn-1, 10n = bqn +rn, где q1, q2, … , qn-1, qn частные, а r1, r2, … , rn-1, rn   остатки.


Подставим в равенство (1) вместо разрядных единиц соответствующие выражения и, используя свойства сложения и умножения, выполним преобразования: Признаки делимости


Признаки делимости. Если сумму Признаки делимости обозначить буквой s, то будем иметь: Признаки делимости. Разделим s на b: s=bq + r, где 0 ≤ r < b. Тогда  Признаки делимости


Признаки делимости. Короче: х=b·Q+r, где Признаки делимости и 0 ≤ r < b. Равенство х = b·Q+r означает, что r является остатком при делении х на b, причем r – число единственное согласно теореме о единственности частного и остатка при делении натуральных чисел. Таким образом, установлено, что при делении натурального числа Признаки делимости на натуральное число b получается такой же остаток r, как и при делении на число b суммы s. Теорема доказана.


Используя признак делимости Паскаля, можно доказать следующий признак делимости чисел на 11: для того чтобы число делилось на 11, необходимо и достаточно, чтобы разность между суммой его цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на четных местах, делилась на 11.


Задача 26. Доказать, что число 540309 делится на 11, не выполняя деления.


Решение. Найдем разность между суммой цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на четных местах.


(4+3+9)-(5+0+0)=11. Т.к. Признаки делимости, то число Признаки делимости.


Задача 27. Доказать признак делимости на 5.


Решение. Пусть число x записано в десятичной системе счисления, т.е. Признаки делимости, где коэффициенты an, an-1, …, a1 принимают значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, an≠0 и a0 принимает значения 0, 5. Докажем, что тогда Признаки делимости.


Так как Признаки делимости, то Признаки делимости, Признаки делимости, … , Признаки делимости и, значит


Признаки делимости.


По условию a0 тоже делится на 5, и поэтому число x можно рассматривать как сумму двух слагаемых, каждое из которых делится на 5. Следовательно, согласно признаку делимости суммы, число Признаки делимости.


Докажем обратное: если число x делится на 5, то его десятичная запись оканчивается одной из цифр 0, 5.


Запишем равенство Признаки делимостив таком виде: Признаки делимости.


Но тогда, по теореме о делимости разности, Признаки делимости, поскольку Признаки делимости и Признаки делимости. Чтобы однозначное число a0 делилось на 5, оно должно принимать значения 0, 5.


Задача 28. Доказать признак делимости на 3.


Решение. Докажем сначала, что числа вида Признаки делимости делятся на 3. Действительно, Признаки делимости


Признаки делимости. Каждое слагаемое полученной суммы делится на 3, значит, и число Признаки делимости делится на 3.


Пусть число Признаки делимости и Признаки делимости. Докажем, что тогда  Признаки делимости.


Преобразуем сумму Признаки делимости, прибавив и вычтя из нее выражение Признаки делимости и записав результат в таком виде: Признаки делимости


Признаки делимости Признаки делимости.


В последней сумме каждое слагаемое делится на 3:


Признаки делимости, так как Признаки делимости,


Признаки делимости, так как Признаки делимости и т.д.,


Признаки делимости, так как Признаки делимости,


Признаки делимости по условию.


Следовательно, Признаки делимости.


Докажем обратное: т.е. если Признаки делимости, то сумма цифр его десятичной записи делится на 3.


Равенство Признаки делимости запишем в таком виде: Признаки делимости. Так как в правой части этого равенства и уменьшаемое, и вычитаемое кратны 3, то по теореме о делимости разности Признаки делимости, т.е. сумма цифр десятичной записи числа х делится на 3, что и требовалось доказать.


Задача 29.  Не находя суммы чисел, установить, делится ли она на 3: 222111+25308+28056+13722.


Решение. Найдем сумму цифр каждого слагаемого: 2 + 2 + 2 + 1 + + 1 + 1 = 9; 2 + 5 + 3 + 0 + 8 = 18; 2 + 8 + 0 + 5 + 6 = 21; 1 +3 + 7 + 2 + 2 = 15. Так как Признаки делимости, то Признаки делимости; Признаки делимости, то Признаки делимости; Признаки делимости, то Признаки делимости; Признаки делимости,
то Признаки делимости. Тогда по теореме о делимости суммы Признаки делимости.


Упражнения для самостоятельной работы


1. Докажите признак делимости на 25.


2. Выпишите из ряда чисел 132, 1050, 1114, 364, 1200 те, которые:


а) делятся на 2;                                    б) делятся на 4;


в) делятся на 2 и не делятся на 4;     г) делятся на 2 и на 4.


3. Выпишите из ряда чисел 72, 312, 522, 483, 1197 те, которые:


а) делятся на 3;                                   в) делятся на 3 и не делятся на 9;


б) делятся на 9;                                   г) делятся на 3 и на 9.


4. Не находя суммы чисел, установите, делится ли она 4:


а) 284+1140+113;                                в) 284+1441+113;


б) 284+1140+792224;                          г) 284+1141+113+164.


5. Не находя разности чисел, установите, делится ли она на 9:


а) 360-144;        б) 946-540;     в) 30240-97.





Просмотров 8521 Комментариев 0
Познавательно:
Скажи свое мнение:
Добавить комментарий
Имя:* E-Mail:*

Вопрос:
1+1=
Ответ:*
Введите два слова, показанных на изображении: *