Положительные рациональные числа


Положительным рациональным числом называется класс равных дробей, а каждая дробь, принадлежащая этому классу, есть запись (представление) этого числа.


Например, о дроби Положительные рациональные числа мы должны говорить, что она является записью некоторого рационального числа. Однако часто для краткости говорят: Положительные рациональные числа – это рациональное число.


Множество всех положительных рациональных чисел принято обозначать символом Q+. Определим на этом множестве отношение равенства.


Если положительное рациональное число а представлено дробью Положительные рациональные числа, а положительное рациональное число b – другой дробью Положительные рациональные числа, то а=b тогда и только тогда, когда mq=np.


Из данного определения следует, что равные рациональные числа представляются равными дробями.


Задача 48. Рациональное число представлено дробью Положительные рациональные числа. Может ли оно быть представлено дробью Положительные рациональные числа?


Решение. Может, так как 15 × 147 = 21 × 105 = 2205, т.е. Положительные рациональные числа.


Если положительное рациональное число а представлено дробью Положительные рациональные числа, а положительное рациональное число b – дробью Положительные рациональные числа, то их суммой называется число a + b, которое представляется дробью Положительные рациональные числа.


Таким образом, по определению, Положительные рациональные числа.


В определении суммы рациональных чисел использованы их представления в виде дробей с одинаковыми знаменателями. Если же числа а и b представлены дробями с различными знаменателями, то сначала надо привести их к одному знаменателю, а затем применить указанное выше правило.


Сложение положительных рациональных чисел коммутативно и ассоциативно.


Задача 49. Доказать коммутативность сложения a + b = b + a.


Решение. Представим а и b дробями Положительные рациональные числа и Положительные рациональные числа. Тогда сумма a + b представляется дробью Положительные рациональные числа, а сумма b + a – дробью Положительные рациональные числа. Так как m, p, n – натуральные числа, то m + p = p + m  и, следовательно, a + b = b + a.


 


Задача 50. Выполнить сложение: а) Положительные рациональные числа; б) Положительные рациональные числа.


Решение. а) Положительные рациональные числа; б) Положительные рациональные числа.


Определение сложения положительных рациональных чисел дает возможность определить отношение «меньше» на множестве Q+.


 


Пусть а и b – положительные рациональные числа. Считают, что число b меньше числа а, если существует такое положительное рациональное число с, что а = b + c.


В этом же случае считают, что число а больше числа b. Пишут   b < a, a > b.


Если рациональные числа a и b представлены дробями Положительные рациональные числа и Положительные рациональные числа (т.е. дробями, имеющими одинаковые знаменатели), то a < b в том и только в том случае, когда m < p.


Если рациональные числа а и b представлены дробями Положительные рациональные числа и Положительные рациональные числа (т.е. дробями, имеющими разные знаменатели), то a < b в том и только в том случае, когда mq < np.


Задача 51. Сравнить числа: а) Положительные рациональные числа и Положительные рациональные числа; б) Положительные рациональные числа и Положительные рациональные числа.


Решение. а) Положительные рациональные числа < Положительные рациональные числа, так как 5 < 7; б) Положительные рациональные числа > Положительные рациональные числа, так как 2 × 5 > 3 × 3.


Вычитание положительных рациональных чисел определяется как операция, обратная сложению, т.е. это такая операция, которая удовлетворяет условию: a – b = c тогда и только тогда, когда a = b + c.


Разность a – b положительных рациональных чисел существует тогда и только тогда, когда b < a. Если разность a – b существует, то она единственна.


Используя определение и условие существования разности, можно получить правило вычитания положительных рациональных чисел, представленных дробями Положительные рациональные числа и Положительные рациональные числа, где m < p: Положительные рациональные числа.


Задача 52. Найти разность чисел: а) Положительные рациональные числа; б) Положительные рациональные числа.


Решение. а) Положительные рациональные числа; б) Положительные рациональные числа.


Если положительное число а представлено дробью Положительные рациональные числа, а положительное рациональное число b – дробь Положительные рациональные числа, то их произведением называется число ab, которое представляется дробью Положительные рациональные числа.


Таким образом, по определению, Положительные рациональные числа.


 


Умножение положительных рациональных чисел коммутативно, ассоциативно и дистрибутивно относительно сложения и вычитания.


Задача 53. Найти произведение чисел: а) Положительные рациональные числа; б) Положительные рациональные числа.


Решение. а) Положительные рациональные числа; б) Положительные рациональные числа.


Задача 54. Найдите значение выражения Положительные рациональные числа.


Решение. Положительные рациональные числа.


Деление положительных рациональных чисел определяется как операция, обратная умножению, т.е. это такая операция, которая удовлетворяет условию: a : b = c тогда и только тогда, когда а = bc.


Из этого определения и правила нахождения произведения положительных рациональных чисел можно получить правило деления положительных рациональных чисел, представленных дробями Положительные рациональные числа и Положительные рациональные числа:


                                   Положительные рациональные числа.


Задача 55. Найти значения выражений: а) Положительные рациональные числа; б) Положительные рациональные числа.


Решение. а) Положительные рациональные числа; б) Положительные рациональные числа.


Упражнения для самостоятельной работы


1. Вычислите значения следующих выражений:


а) Положительные рациональные числа; б) Положительные рациональные числа; в) Положительные рациональные числа; г) Положительные рациональные числа;        


д) Положительные рациональные числа; е) Положительные рациональные числа; ж) Положительные рациональные числа.


2. Сравните числа:


а) Положительные рациональные числа  и  Положительные рациональные числа;  б) Положительные рациональные числа и Положительные рациональные числа; в) Положительные рациональные числа и Положительные рациональные числа; г) Положительные рациональные числа и Положительные рациональные числа.


3. Решите задачу арифметическим способом.


Прямоугольник разделили на 8 равных частей. Сначала закрасили Положительные рациональные числа прямоугольника, потом Положительные рациональные числа, затем Положительные рациональные числа. Весь ли прямоугольник закрасили?


4. Докажите ассоциативность умножения рациональных чисел.





Просмотров 3887 Комментариев 0
Познавательно:
Скажи свое мнение:
Добавить комментарий
Имя:* E-Mail:*

Вопрос:
1+1=
Ответ:*
Введите два слова, показанных на изображении: *