Делимость суммы, разности, произведения


  • Если каждое из натуральных чисел a1, a2, ... , an  делится на натуральное число b, то их сумма a1 + a2 + ... + an делится на это число.

  • Если в сумме одно слагаемое не делится на число b, а все остальные слагаемые делятся на число b, то вся сумма на число b не делится.

  • Если числа a1 и a2 делятся на b и a1 ≥ a2 , то их разность a1 – a2 делится на b.

  • Если число a делится на b, то произведение вида a·x, где Делимость суммы, разности, произведения, делится на b.

  • Если в произведении a·b множитель a делится на натуральное число m, а множитель b делится на натуральное число n, то a·b делится на m·n.

  • Если произведение a·c делится на произведение b·c, причем c – натуральное число, то и a делится на b.

Задача 19. Не производя вычислений, установите, делятся ли на 4 выражения: а) 132 + 360 + 536; б) 540 – 332; в) 2512·127.


Решение. а) так как на 4 делится каждое слагаемое, то сумма      132 + 360 + 536 делится на 4; б) так как уменьшаемое 540 делится на 4 и вычитаемое 332 делится на 4, то и разность 540 – 332 делится на 4; в) так как число 2512 делится на 4, то и произведение 2512·127 делится на 4.


Задача 20. Доказать, что произведение двух последовательных натуральных чисел n и  n + 1 делится на 2.


Решение. Чтобы показать, что произведение n·(n + 1) делится на 2, надо рассмотреть две возможности:


1) n делится на 2, т.е. n = 2k. Тогда произведение n·(n + 1) будет иметь вид: 2k·(2k + 1). Это произведение делится на 2, так как первый множитель в нем делится на 2;


2) n не делится на 2, т.е. n = 2k + 1. Тогда произведение n·(n + 1) будет иметь вид: (2k + 1)·(2k + 2). Это произведение делится на 2, так как второй множитель делится на 2.


Задача 21. Доказать, что произведение трех последовательных натуральных чисел  n, n + 1, n + 2 делится на 3.


Решение. Чтобы показать, что произведение n·(n + 1)·(n + 2) делится на 3, надо рассмотреть три возможности:


1) n делится на 3, т.е. n = 3k. Тогда n·(n + 1)·(n + 2) будет иметь вид: 3k·(3k + 1)·(3k + 2). Это произведение делится на 3, так как первый множитель в нем делится на 3;


2) n при делении на 3 дает в остатке 1, т.е. n = 3k + 1. Тогда произведение n·(n + 1)·(n + 2) будет иметь вид: (3k + 1)·(3k + 2)·(3k + 3). Это произведение делится на 3, т.к. третий множитель делится на 3;


3) n при делении на 3 дает в остатке 2, т.е. n = 3k + 2. Тогда произведение n·(n + 1)·(n + 2) будет иметь вид: (3k + 2)·(3k + 3)·(3k + 4). Это произведение делится на 3, т.к. второй множитель в нем делится на 3.


На основании задач 20 и 21 можно сформулировать утверждение, что произведение трех последовательных натуральных чисел делится на 6.


Задача 22. Доказать, что произведение четырех последовательных натуральных чисел n,  n + 1, n + 2, n + 3 делится на 4.


Решение. Чтобы показать, что произведение n·(n + 1)·(n + 2)·(n + 3) делится на 4 надо рассмотреть четыре возможности:


1) n делится на 4, т.е. n = 4k. Тогда n·(n + 1)·(n + 2)·(n + 3) будет иметь вид: 4k·(4k + 1)·(4k + 2)·(4k + 3). Это произведение делится на 4, так как первый множитель в нем делится на 4;


2) n при делении на 4 дает в остатке 1, т.е. n = 4k + 1. Тогда         n·(n + 1)·(n + 2)·(n + 3) будет иметь вид: (4k + 1)·(4k + 2)·(4k + 3)·(4k + 4). Это произведение делится на 4, так как последний множитель делится на 4;


3) n при делении на 4 дает в остатке 2, т.е. n = 4k + 2. Тогда    n·(n + 1)·(n + 2)·(n + 3) будет иметь вид: (4k + 2)·(4k + 3)·(4 k+ 4)·(4k + 5). Это произведение делится на 4, так как третий множитель делится на 4;


4) n при делении на 4 дает в остатке 3, т.е. n= 4k + 3. Тогда     n·(n + 1)·(n + 2)·(n + 3) будет иметь вид: (4k + 3)·(4k + 4)·(4k + 5)·(4k + 6). Это произведение делится на 4, так как второй множитель делится на 4.


Поскольку произведение n·(n + 1)·(n + 2)·(n + 3) содержит произведение двух, трех последовательных натуральных чисел, то оно делится на 2 и на 3.


Задача 23. Доказать, что Делимость суммы, разности, произведения при любом натуральном значении n.


Решение. Преобразуем данное выражение: (2n – 1)3 – (2n – 1)=          = (2n – 1)·(4n2 – 4n + 1 – 1) = 4n·(n – 1)·(2n –  1). Это произведение делится на 4. Кроме того, произведение двух последовательных натуральных чисел n·(n – 1) делится на 2. Таким образом, произведение 4n·(n – 1)·(2n – 1) делится на 8. Осталось показать, что это произведение делится на 3. Для этого рассмотрим три возможности:


1) n делится на 3, т.е. n = 3k. Тогда произведение 4n·(n – 1)·(2n – 1) будет иметь вид: 4·3k·(3k – 1)·(6k – 1). Это произведение делится на 3;


2) n при делении на 3 дает в остатке 1, т.е. n = 3k + 1. Тогда произведение 4n·(n – 1)·(2n – 1) будет иметь вид: 4·(3k + 1)·3k·(6k + 1). Это произведение делится на 3;


3) n при делении на 3 дает в остатке 2, т.е. n = 3k + 2. Тогда произведение 4n·(n – 1)·(2n – 1) будет иметь вид: 4·(3k + 2)·(3k + 2 –1)·  (6k + 4 – 1)= 4·(3k + 2)·(3k +1)·(6k+3). Это произведение делится на 3, т.к. последний множитель в нем делится на 3.


 


Так как 8 и 3 – взаимно простые числа, то Делимость суммы, разности, произведения, т.е. на 24, что и требовалось доказать.


Задача 24. Доказать, что разность любого трехзначного числа и трехзначного, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке делится на 9.


Решение. Представим любое трехзначное число в виде Делимость суммы, разности, произведения. Нам надо доказать, что Делимость суммы, разности, произведения. Преобразуем выражение Делимость суммы, разности, произведения


Делимость суммы, разности, произведения. Это произведение делится на 9, т.к. первый множитель делится на 9.


Задача 25. Доказать, что четырехзначное число вида Делимость суммы, разности, произведения делится на 11.


Решение. Представим данное число в виде Делимость суммы, разности, произведения. Эта сумма делится на 11, т.к. Делимость суммы, разности, произведения и Делимость суммы, разности, произведения.


Упражнения для самостоятельной работы


1. Доказать, что произведение пяти последовательных натуральных чисел делится на 5.


2. Доказать, что при любом натуральном n число  n3 + 5n делится на 6.


3. Доказать, что при любом  натуральном n число  n3 – n делится на 24.


4. Доказать, что разность любого четырехзначного числа и четырехзначного числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, делится на 9.


5. Доказать, что трехзначное число, записанное тремя одинаковыми цифрами, делится на 37.





Просмотров 19167 Комментариев 0
Познавательно:
Скажи свое мнение:
Добавить комментарий
Имя:* E-Mail:*

Вопрос:
1+1=
Ответ:*
Введите два слова, показанных на изображении: *