Алгоритм умножения


Чтобы выполнять умножение многозначного числа на многозначное, необходимо уметь:
  • умножать многозначное число на однозначное и на степень десяти;

  • складывать многозначные числа.

В основе алгоритма умножения многозначного числа на однозначное лежат следующие теоретические факты:

  • свойства сложения и умножения;

  • таблицы сложения и умножения однозначных чисел.

Задача 6. Проиллюстрировать теоретические основы алгоритма умножения, вычислив произведение 537·4.


Решение.  Согласно правилу записи чисел в десятичной системе счисления, 537 можно представить в виде 5·102 + 3·10 + 7 и тогда    537·4 = (5·102 + 3·10 + 7)·4. На основании дистрибутивности умножения относительно сложения раскроем скобки: (5·102)·4 + (3·10)·4 + 7·4. Далее воспользуемся коммутативностью и ассоциативностью умножения: (5·4)·102 + (3·4)·10 + (7·4). Произведения в скобках могут быть найдены по таблице умножения однозначных чисел: 20·102 + 12·10 + 28. Видим, что умножение многозначного числа на однозначное свелось к умножению однозначных чисел. Но чтобы получить окончательный результат, надо преобразовать выражение 20·102 + 12·10 + 28 – коэффициенты перед степенями числа 10 должны быть меньше 10. Для этого представим число 20 в виде 2·10, число 12 в виде 1·10 + 2, а число 28 в виде 2·10 + 8. затем в выражении (2·10)·102 + (1·10 + 2)·10 +     + (2·10 + 8) раскроем скобки: 2·103 + 1·102 + 2·10 + 2·10 + 8.


На основании ассоциативности сложения и дистрибутивности умножения относительно сложения сгруппируем слагаемые 2·10 и 2·10 и вынесем 10 за скобки: 2·103 + 1·102 + (2 + 2)·10 + 8. Сумма 2 + 2 есть сумма однозначных чисел и может быть найдена по таблице сложения: 2·103 + 1·102 + 4·10 + 8.  Полученное выражение есть десятичная запись числа 2148, т.е. 537·4 = 2148.


В общем виде алгоритм умножения многозначного числа Алгоритм умножения на однозначное число у в столбик формулируется так:


  • Записываем второе число под первым.

  • Умножаем цифры разряда единиц числа х на число у. Если произведение меньше 10, его записываем в разряд единиц ответа и переходим к следующему разряду (десятков).

  • Если произведение цифр единиц числа х на число у больше или равно 10, то представляем его в виде 10q1 + c0, где с0 – однозначное число; записываем с0 в разряд единиц ответа и запоминаем q1 – перенос в следующий разряд.

  • Умножаем цифры разряда десятков на число у, прибавляем к полученному произведению число q1 и повторяем процесс, описанный в пункты 2 и 3.

  • Процесс умножения заканчивается, когда окажется умноженной цифра старшего разряда.

Как известно, умножение числа х на число вида 10k сводится к приписыванию к десятичной записи данного числа k нулей. Покажем это.


Алгоритм умноженияУмножим число Алгоритм умножения на 10k: Алгоритм умножения. Полученное выражение является суммой разрядных слагаемых числа


так как равно Алгоритм умножения.


Например, 635·103 = (6·102 + 3·10 + 5)·103 = 6·105 + 3·104 + 5·103 = = 6·105 + 3·104 + 5·103 + 0·102 + 0·10 + 0 = 635000.


Заметим еще, что умножение на число y·10k, где у – однозначное число, сводится к умножению на однозначное число у и на число 10k. Например, 43·500 = 43·(5·102) = (43·5)· 102 =215·102 = 21500.


Задача 7. Проиллюстрировать алгоритм умножения многозначного числа 437 на многозначное число 254.












87400


+21850


1748



110998



Решение. Представим число 254 в виде суммы 2·102 + 5·1 0+ 4 и запишем произведение 437·(2·102 + 5·10 + 4). Оно, согласно дистрибутивности умножения относительно сложения, равно 437·(2·102) +        + 437·(5·10) + 437·4. Отсюда, применив ассоциативное свойство умножения, получим (437·2)·102 + (437·5)·10 + 437·4. Видим, что умножение многозначного числа 437 на многозначное число 254 свелось к умножению многозначного числа 437 на однозначные числа 2, 5 и 4, а также на степени 10. Таким образом получаем: 87400 + 21850 + 1748. Пользуясь алгоритмом сложения многозначных чисел, имеем:


 


Значит, 437·254 = 110998.


Сформулируем в общем виде алгоритм умножения числа Алгоритм умножения на число Алгоритм умножения.


 


1. Записываем множитель x и под ним второй множитель у.


2. Умножаем число x на младший разряд b0 числа у и записываем произведение х·b0 под числом у.


3. Умножаем число х на следующий разряд b1, числа у и записываем произведение х·b1, но со сдвигом на один разряд влево, что соответствует умножению х·b1 на 10.


4. Продолжаем вычисление произведений до вычисления х·bk.


5. Полученные + 1 произведения складываем.


Упражнения для самостоятельной работы


1. Проиллюстрируйте теоретические основы алгоритма умножения многозначного числа на однозначное, вычислив произведение 468·3.


2. Проиллюстрируйте теоретические основы алгоритма умножения многозначного числа на многозначное, вычислив произведение 362·175.


3. Выполните умножение чисел, используя запись столбиком, и объясняя каждый шаг алгоритма:  а) 873·36;  в) 6030·345;   б) 7365·64;  г) 5478·346.


4. Используя свойства умножения, найдите наиболее рациональный способ вычисления значения выражения:


а) 8·13·4·125·25;        б) 24·(27·125);            в) (88 + 48)·125;        г) 124·4 + 116·4;


д) (3750 – 125)·8;       е) 1779·1243 – 779·1243.


5. Вычислите рациональным способом значение выражения:


а) (420 – 394)·405 – 25·405;             б) 105·209 + (964 – 859)·209·400.


 





Просмотров 16628 Комментариев 0
Познавательно:
Скажи свое мнение:
Добавить комментарий
Имя:* E-Mail:*

Вопрос:
1+1=
Ответ:*
Введите два слова, показанных на изображении: *