Алгоритм вычитания


В основе алгоритма вычитания многозначного числа из многозначного лежат следующие теоретические факты:


·     способ записи числа в десятичной системе счисления;


·     правила вычитания числа из суммы и суммы из числа;


·     свойство дистрибутивности умножения относительно вычитания;


·     таблица сложения однозначных чисел.


Задача 5. Проиллюстрировать теоретические основы алгоритма вычитания, вычислив разности: а) 586 – 342;  б) 850 – 437.


Решение. а) Рассмотрим разность чисел 586 и 342. Воспользуемся правилом записи чисел в десятичной системе счисления и представим данную разность в таком виде: 586–342 = (5·102 + 8·10 + 6)–(3·102 +      + 4·10 + 2).


Чтобы вычесть из числа 5·102 + 8·10 + 6 сумму 3·102 + 4·10 + 2, достаточно вычесть из него каждое слагаемое этой суммы одно за другим, и тогда: (5·102 + 8·10 + 6) – (3·102 + 4·10 + 2) = (5·102 + 8·10 + 6) –
– 3·102 – 4·10 – 2.


Чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть его из какого-нибудь одного слагаемого (большего или равного этому числу). Поэтому число 3·102 вычитаем из слагаемого 5·102, число 4·10 – из слагаемого 8·10, а число 2 – из слагаемого 6, тогда: 


(5·102 + 8·10 + 6) – 3·102 – 4·10 – 2 = (5·102 – 3·102) + (8·10 – 4·10) + (6 – 2).


Воспользуемся дистрибутивностью умножения относительно вычитания и вынесем за скобки 102 и 10. Тогда выражение будет иметь вид: (5 – 3)·102 + (8 – 4)·10 + (6 – 2). Видим, что вычитание трехзначного числа 342 из трехзначного числа 586 свелось к вычитанию однозначных чисел, изображенных цифрами соответствующих разрядов в записи заданных трехзначных чисел. Разности 5 – 3, 8 – 4 и 6 – 2 находим по таблице сложения и получаем выражение: 2·102 + 4·10 + 4, которое является записью числа 244 в десятичной системе счисления. Таким образом, 586 – 342 = 244.

б) Рассмотрим разность 850 – 437. Воспользуемся правилом записи чисел в десятичной системе счисления и представим эту разность в таком виде: 850 – 437 = (8·102 + 5·10 + 0)–(4·102 + 3·10 + 7). Поскольку из числа 0 нельзя вычесть 7, то выполнить вычитание аналогичное тому, как было сделано в первом случае, невозможно. Поэтому возьмем из числа 850 один десяток и представим его в виде 10 единиц – десятичная система счисления позволяет это сделать – тогда будем иметь выражение:


      (8·102 + 4·10 + 10) – (4·102 + 3·10 + 7).


Если теперь воспользоваться правилами вычитания суммы из числа и числа из суммы, а также дистрибутивностью умножения относительно вычитания, то получим выражение (8 – 4)·102 + (4 – 3)·10 + (10 –7) или 4·102 + 1·10 + 3. Последняя сумма есть запись числа 413 в десятичной системе счисления. Значит, 850 – 437 = 413.


Разность многозначных чисел обычно находят выполняя вычитание столбиком.


В общем виде алгоритм вычитания многозначных чисел, записанных в десятичной системе счисления, формулируется так:


  • Записываем вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом.

  • Если цифра в разряде единиц вычитаемого не превосходит соответствующей цифры уменьшаемого, вычитаем ее из цифры уменьшаемого, записываем разность в разряд единиц искомого числа, после чего переходим к следующему разряду.

  • Если же цифра единиц вычитаемого больше единиц уменьшаемого, т.е. b0>a0, а цифра десятков уменьшаемого отлична от нуля, то уменьшаем цифру десятков уменьшаемого на 1, одновременно увеличив цифру единиц уменьшаемого на 10, после чего вычитаем из числа 10 + a0 число b0 и записываем разность в разряде единиц искомого числа, далее переходим к следующему разряду.

  • Если цифра единиц вычитаемого больше цифры единиц уменьшаемого, а цифры, стоящие в разряде десятков, сотен и т.д. уменьшаемого, равны нулю, то берем первую отличную от нуля цифру в уменьшаемом (после разряда единиц), уменьшаем ее на 1, все цифры в младших разрядах до разряда десятков включительно увеличиваем на 9, а цифру в разряде единиц на 10: вычитаем b0     из 10 + a0, записываем разность в разряде единиц искомого числа и переходим к следующему разряду.

В следующем разряде повторяем описанный процесс.


Вычитание заканчивается, когда производится вычитание из старшего разряда уменьшаемого.


Упражнения для самостоятельной работы


1. Проиллюстрируйте теоретические основы алгоритма вычитания, вычислив разности: a) 578 – 345; б) 646 – 207.


2. Выполните вычитание, объясняя каждый шаг алгоритма:


а) 84072 – 63894;         б) 940235 – 32849;


в) 935204 – 326435;    г) 653481 – 233694.


3. Вычислите значение выражений, используя правила вычитания суммы из числа и числа и суммы: а) 2362 – (839 + 1362); б) (1241 + 576) – 841.


4. Вычислите значение выражения, используя правило прибавления к числу разности: а) 6420 + (3580 – 1736);   б) 5480 + (6290 – 3480).


5. Вычислите значение выражения, используя правило вычитания разности из числа: а) 3720 – (1742 – 2678);   б) 2354 – (965 – 1246).


6. Вычислите значение выражения, используя правило вычитания числа из разности: а) (4317 – 1928) – 317;   б) (5243 – 1354) – 1643.





Просмотров 13048 Комментариев 0
Познавательно:
Скажи свое мнение:
Добавить комментарий
Имя:* E-Mail:*

Вопрос:
1+1=
Ответ:*
Введите два слова, показанных на изображении: *