Метод математической индукции


         Метод доказательства, основанный на аксиоме Пеано 4, используют для доказательства многих математических свойств и различных утверждений. Основой для этого служит следующая теорема.


Теорема. Если утверждение А(n) с натуральной переменной n истинно для n = 1 и из того, что оно истинно для n = k, следует, что оно истинно и для следующего числа n=kМетод математической индукции, то утверждение А(n) истинно для любого натурального числа n.


Доказательство. Обозначим через М множество тех и только тех натуральных чисел, для которых утверждение А(n) истинно. Тогда из условия теоремы имеем: 1) 1Метод математической индукцииМ; 2) k Метод математической индукцииMМетод математической индукции kМетод математической индукцииМетод математической индукцииM. Отсюда, на основании аксиомы 4, заключаем, что М = N, т.е. утверждение А(n) истинно для любого натурального n.


Метод доказательства, основанный на этой теореме, называется методом математической индукции, а аксиома – аксиомой индукции. Такое доказательство состоит из двух частей:


1) доказывают, что утверждение А(n) истинно для n = 1, т.е. что истинно высказывание А(1);


2) предполагают, что утверждение А(n) истинно для n = k, и, исходя из этого предположения, доказывают, что утверждение A(n) истинно и для n = k + 1, т.е. что истинно высказывание A(k) Метод математической индукции A(k + 1).


Если А(1) Метод математической индукции А(k) Метод математической индукции A(k + 1) – истинное высказывание, то делают вывод о том, что утверждение A(n) истинно для любого натурального      числа n.


         Доказательство методом математической индукции можно начинать не только с подтверждения истинности утверждения для n = 1, но и с любого натурального числа m. В этом случае утверждение А(n) будет доказано для всех натуральных чисел nМетод математической индукцииm.


         Задача. Докажем, что для любого натурального числа истинно равенство 1 + 3 + 5 … + (2n – 1) = nМетод математической индукции.


         Решение. Равенство 1 + 3 + 5 … + (2n – 1) = nМетод математической индукции представляет собой формулу, по которой можно находить сумму первых последовательных нечетных натуральных чисел. Например, 1 + 3 + 5 + 7 = 4Метод математической индукции= 16 (сумма содержит 4 слагаемых), 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 6Метод математической индукции= 36 (сумма содержит 6 слагаемых); если эта сумма содержит 20 слагаемых указанного вида, то она равна 20Метод математической индукции= 400 и т.д. Доказав истинность данного равенства, получим возможность находить по формуле сумму любого числа слагаемых указанного вида.


1) Убедимся в истинности данного равенства для n = 1. При n = 1 левая часть равенства состоит из одного члена, равного 1, правая часть равна 1Метод математической индукции= 1. Так как 1 = 1, то для n = 1 данное равенство истинно.


2) Предположим, что данное равенство истинно для n = k, т.е. что   1 + 3 + 5 + … + (2k – 1)kМетод математической индукции. Исходя из этого предположения, докажем, что оно истинно и для n = k + 1, т.е.  1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2(k + 1) – 1) =     (k + 1)Метод математической индукции.


Рассмотрим левую часть последнего равенства.


Метод математической индукцииПо предположению, сумма первых k слагаемых равна  kМетод математической индукции и потому 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2(k + 1) – 1) = 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2k + 1)=


                                                                                    kМетод математической индукции


= kМетод математической индукции+ (2k + 1) =  kМетод математической индукции+ 2k + 1. Выражение  kМетод математической индукции+ 2k + 1 тождественно равно выражению (k + 1)Метод математической индукции.


 Следовательно, истинность данного равенства для n = k + 1 доказана.


Таким образом, данное равенство истинно для n = 1 и из истинности его для n = k  следует истинность для n = k  + 1.


Тем самым доказано, что данное равенство истинно для любого натурального числа.


С помощью метода математической индукции можно доказывать истинность не только равенств, но и неравенств.


Задача. Доказать, что Метод математической индукции, где  nМетод математической индукцииN.


Решение. Проверим истинность неравенства при n = 1. Имеем  Метод математической индукции - истинное неравенство.


Предположим, что неравенство верно при n = k, т.е.  Метод математической индукции- истинное неравенство. Докажем, исходя из предположения, что оно верно и при n = k + 1,т.е. Метод математической индукции(*).


Преобразуем левую часть неравенства (*), учитывая, что Метод математической индукции:   Метод математической индукции.


Но  Метод математической индукции, значит и Метод математической индукции.


Итак, данное неравенство истинно для n = 1, и, из того, что неравенство верно для некоторого n = k, мы получили, что оно верно и для   n = k + 1.


Тем самым, используя аксиому 4, мы доказали, что данное неравенство истинно для любого натурального числа.


Методом математической индукции можно доказать и иные утверждения.


Задача. Доказать, что для любого натурального числа истинно утверждение  Метод математической индукции.


Решение. Проверим истинность утверждения при n = 1: Метод математической индукции -истинное высказывание.


Предположим, что данное утверждение верно при n = k: Метод математической индукции. Покажем, используя это, истинность утверждения при n = k + 1: Метод математической индукции.


Преобразуем выражение: Метод математической индукции. Найдем разность k и k+1 членов. Если  окажется, что полученная разность      кратна 7, а по предположению вычитаемое делится на 7, то и уменьшаемое также кратно 7:


Метод математической индукции.


Произведение Метод математической индукции кратно 7, следовательно, и Метод математической индукции.


         Таким образом, данное утверждение истинно для n = 1 и из истинности его для n = k  следует истинность для n = k  + 1.


Тем самым доказано, что данное утверждение истинно для любого натурального числа.


         Задача. Доказать, что для любого натурального числа n Метод математической индукции 2 истинно утверждение (7Метод математической индукции- 1)Метод математической индукции24.


Решение. 1) Проверим истинность утверждения при n = 2: Метод математической индукции- истинное высказывание.


2) Предположим, что данное нам утверждение истинно при n = k:         (7Метод математической индукции- 1)Метод математической индукции24.


Докажем, что оно верно и для n = k + 1, т.е. (7Метод математической индукции- 1)Метод математической индукции24. Преобразуем наше утверждение:  (7Метод математической индукции- 1)Метод математической индукции24 = 7Метод математической индукции- 1 = 7Метод математической индукции- 1 = 7Метод математической индукции(48 + 1) – 1 = 7Метод математической индукции 48 + (7Метод математической индукции- 1).


Так как 7Метод математической индукции 48 делится на 24, а выражение (7Метод математической индукции- 1) делится на 24 по нашему предположению, то по теореме о делимости суммы имеем, что 7Метод математической индукции 48 + (7Метод математической индукции- 1) и (7Метод математической индукции- 1)Метод математической индукции24.


         Мы показали, что данное выражение кратно 24 при n = 2, и из того, что оно кратно 24 при n = k, следует, что оно кратно 24 и при n = k + 1.


Значит данное утверждение (7Метод математической индукции- 1)Метод математической индукции24 истинно при любом натуральном n.





Просмотров 6795 Комментариев 1
Познавательно:
Скажи свое мнение:
1 Написал: Николай (11 марта 2016 10:03) | Комментариев 0 | Группа: Гости
5+14+27+...+(n-1)*(2n+1)<2/3n^2(n+1)
Добавить комментарий
Имя:* E-Mail:*

Вопрос:
1+1=
Ответ:*
Введите два слова, показанных на изображении: *