Деление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числам


При аксиоматическом построении теории целых неотрицательных чисел деление обычно определяется как операция, обратная умножению.


Делением натуральных чисел а и b называется операция, удовлетворяющая условию: а :  b = с тогда и только тогда, когда b Деление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числам c = а.


Число а : b называется частным чисел а и b, число аделимым, число bделителем.


Теорема. Частное двух чисел существует и оно единственно.


Докажем, что, для того, чтобы частное двух натуральных чисел а и b существовало, необходимо, чтобы b Деление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числам a.


Доказательство. Пусть частное двух натуральных чисел а и b существует, т.е. есть такое натуральное число с, что bДеление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числамc = a.


Так как для любого натурального числа 1 справедливо неравенство 1 Деление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числам с, то умножив обе его части на натуральное число b, получим b Деление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числам bДеление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числамс. Но   bДеление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числамc = a,  следовательно, b Деление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числам a.


Докажем, что если частное двух натуральных чисел а и b существует, то оно единственно.


Доказательство. Предположим, что существует  два различных значения частного чисел а и b: a : b = cДеление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числам  и  a : b = cДеление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числам. Тогда, по определению разности, имеем: a = b Деление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числам cДеление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числам и  a = b Деление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числам cДеление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числам. Отсюда следует, что  b Деление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числам cДеление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числам = b Деление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числам cДеление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числам и значит  cДеление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числам = cДеление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числам. Мы пришли к противоречию с нашим предположением. Следовательно, значение частного чисел a и b единственно.


Пусть даны целое неотрицательное число а и b = 0. Рассмотрим случай, когда а Деление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числам0. Предположим, что частное такого числа и нуля существует. Тогда, по определению деления, имеем а = с Деление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числам 0, откуда а = 0. Пришли к противоречию. Значит, частное чисел а Деление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числам0 и b = 0 не существует.


Пусть а = 0. Предположим, что частное чисел а = 0 и b = 0 существует. Тогда найдется целое неотрицательное число с, что 0 = с Деление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числам 0. Т.о., частным чисел а = 0 и b = 0 может быть любое число, т.е. результат деления определяется не единственным образом.  В математике считают, что деление нуля на нуль невозможно.


Исходя из определения частного натуральных чисел и условия его существования, можно обосновать известные правила деления суммы, разности, произведения на число.


Правило деления суммы на число. Для того чтобы разделить сумму на число, достаточно разделить на это число каждое слагаемое и полученные результаты сложить. Пусть числа а и b делятся на число с, то и их сумма а +  b делится на с, т.е. (а + b) : с = а : с + b : с.


Докажем, что если числа а и b делятся на число с, то и их сумма а +  b делится на с. Частное, получаемое при делении суммы   а + b на число с, равно сумме частных получаемых при делении а на с и b на с, т.е.   (а + b) : с = а : с + b : с.


Доказательство. Так как число а делится на число с, то существует натуральное число х = а : с, что а = сДеление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числамх. Аналогично существует натуральное число y = b : c, что b = cДеление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числамy. Но тогда а + b = cДеление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числамx + cДеление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числамy = cДеление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числам (x + y). Это значит, что сумма а + b делится на число с, причем частное при делении суммы а + b на число с равно x + y, т.е. (а + b) : с = а : с + b : с.


Правило деления разности на число. Для того чтобы разделить разность на число, достаточно разделить это число на  уменьшаемое и вычитаемое и из первого частного вычесть второе. Пусть числа а и b делятся на число с, то и их сумма а –  b делится на с, т.е. (а – b) : с = а : с – b : с.


Правило деления числа на произведение. Для того чтобы разделить число на произведение, достаточно это число разделить на один множитель, а затем  полученное частное разделить на другой множитель. Пусть натуральное число а делится на натуральные числа b и с, то а : (b Деление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числам c) =        (a : b) : c = (a : c) : b.


Правило умножения числа на частное двух чисел. Чтобы умножить число на частное двух чисел, достаточно умножить это число на делимое и полученное произведение разделить на делитель, т.е. a Деление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числам (b : c) = (a Деление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числамb): c.


Правило деления произведения на число. 1.Если натуральное число а делится на натуральное число с, то для любого натурального числа b произведение аДеление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числамb делится на с. При этом частное, получаемое при делении произведения аДеление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числамb на число с, равно произведению частного, получаемого при делении а на с, и числа bДеление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числамb) : с = (а : с) Деление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числамb.


Доказательство. Так как число а делится на число с, то существует натуральное число х = а : с, что а = сДеление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числамх. Умножив обе части этого равенства на b, получим аДеление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числамb = (cДеление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числамx) Деление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числамb. Поскольку умножение ассоциативно, то (cДеление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числамx) Деление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числамb = cДеление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числам(x Деление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числамb). Отсюда Деление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числамb) : с = (а : с) Деление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числамb.


2. Чтобы разделить произведение нескольких целых неотрицательных  чисел на натуральное число, достаточно один из множителей разделить на это число и полученное частное умножить на оставшиеся множители, т.е., если а : n, то (aДеление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числамbДеление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числамc) : n = (a : n)Деление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числам bДеление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числамc


Найдите значение выражения рациональным способом:


а) (7 Деление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числам 63) : 7;  б) (3 Деление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числам 4 Деление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числам 5) : 15;  в) (15 Деление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числам 18) : (5 Деление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числам 6);  г) (12 Деление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числам 21) : 14.


Решение. а) (7 Деление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числам 63) : 7 = [правило деления произведения на число] = (7 : 7) Деление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числам 63 = 1 Деление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числам 63 = 63;


б) (3 Деление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числам 4 Деление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числам 5) : 15 = [коммутативность и ассоциативность умножения] = ((3 Деление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числам 5) Деление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числам 4) : 15 = (15 Деление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числам 4) : 15 = [правило деления произведения на число] = (15 : 15) Деление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числам 4 = 1 Деление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числам 4 = 4;


 в) (15 Деление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числам 18) : (5 Деление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числам 6) = [правило деления числа на произведение] = ((15 Деление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числам 18) : 5) : 6 = [правило деления произведения на число] =                     ((15 : 5) Деление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числам 18) : 6 = (3  Деление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числам 18) : 6 = [правило деления произведения на число] = (18 : 6) Деление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числам 3 =  3  Деление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числам 3 = 9;


 г) (12 Деление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числам 21) : 14 = (12 Деление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числам 21) : (2 Деление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числам 7) = [правило деления числа на произведение] = ((12 Деление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числам 21) : 2) : 7 = [правило деления произведения на число] =  ((12 : 2)  Деление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числам 21) : 7 = (6 Деление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числам 21) : 7 = [правило деления произведения на число] = (21 : 7) Деление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числам 6 = 3 Деление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числам 6 = 18.


         Рассматривая деление на множестве целых неотрицательных чисел, мы имеем в виду деление нацело, т.е. при котором частное является также целым неотрицательным числом. Но такое частное существует не всегда. Например, нельзя разделить на 7 число 29. Но существуют числа 4 и 1 такие, что 29 = 7Деление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числам4 + 1. Говорят, что мы разделили число 29 на 7 с остатком 1, а число 4 называют неполным частным.


Разделить натуральное число а на натуральное число b с остатком – это значит найти такие натуральные целые числа q и r, что а = bДеление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числамq + r,  где  0 Деление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числам r < b.


Из этого определения следует, что делить с остатком можно не только большее число на меньшее, но и меньшее на большее. Например, при делении числа 6 на 9 получаем неполное частное, равное  0, а остаток равен 6: 6 = 9 Деление чисел в аксиоматическом подходе к целым неотрицательным числам0 + 6. Вообще, если a < b, то при делении числа а на b с остатком получаем q = 0 и r = а.


Теорема. Каковы бы ни были целое число a и целое число  b ≠ 0, всегда возможно, и притом, единственным способом, разделить a на b c  остатком.


Доказательство: Пусть a ≥ 0, b ≥ 0. Докажем возможность деления с остатком. Рассмотрим множество всех натуральных чисел, которые делятся на b, расположив  их в порядке возрастания  b





Просмотров 10294 Комментариев 1
Познавательно:
Скажи свое мнение:
1 Написал: Алёна (29 ноября 2013 22:46) | Комментариев 0 | Группа: Гости
Мне кажется,или тема дописана не до конца?
Добавить комментарий
Имя:* E-Mail:*

Вопрос:
1+1=
Ответ:*
Введите два слова, показанных на изображении: *