Вычитание целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе


При аксиоматическом построении теории целых неотрицательных чисел вычитание определяется как операция, обратная сложению.


Разностью целых неотрицательных чисел а и b называется такое натуральное число с, что а = с + b. Это число обозначают а – b. Число а называют уменьшаемым, b – вычитаемым.


Разность целых неотрицательных чисел a и b существует, если b Вычитание целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе a  и она единственна.


Будем считать, что 0 – 0 = 0 и а – а = 0.


Теорема. Если разность целых неотрицательных чисел существует, если bВычитание целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходеa.


Доказательство. Пусть а = b. Тогда а – b = 0, и следовательно, разность существует. Если b < a, то по определению отношения «меньше» существует натуральное число с такое, что a = b + c. Тогда по определению разности с = а – b, т.е. разность существует и b + c = a. Если с = 0, то а = b; если с > 0, то b < a по определению отношения «меньше». Итак, b Вычитание целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе a.


Теорема. Если разность натуральных чисел a и b существует, то она единственна.


Доказательство. Предположим, что существует  два различных значения разности чисел а и b: a – b = cВычитание целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе  и  a – b = cВычитание целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе. Тогда, по определению разности, имеем: a = b + cВычитание целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе и  a = b + cВычитание целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе. Отсюда следует, что  b + cВычитание целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе = b + cВычитание целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе и значит  cВычитание целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе = cВычитание целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе. Мы пришли к противоречию с нашим предположением. Следовательно, значение разности чисел a и b единственно.


Дистрибутивность умножения относительно вычитания: при b < a и при любых натуральных с верно равенство (a - b) Вычитание целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе c = a Вычитание целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе c - b Вычитание целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе c.


Докажем, что при b < a и при любых натуральных с верно равенство (a - b) Вычитание целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе c = a Вычитание целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе c - b Вычитание целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе c.


Доказательство. Пусть натуральные числа a и b выбраны произвольно, а с принимает различные натуральные значения. Обозначим через М множество таких натуральных чисел с, для которых верно равенство  (a - b) Вычитание целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе c = a Вычитание целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе c - b Вычитание целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе c.


Докажем, что 1Вычитание целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходеМ, т.е. что  равенство (а - b) Вычитание целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе 1 = а Вычитание целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе 1 - b Вычитание целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе 1 истинно. Согласно свойству 1 из определения умножения имеем: (а - b) Вычитание целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе1 = а - b =  а  Вычитание целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе 1 - b Вычитание целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе 1.


Докажем теперь, что если с Вычитание целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходеМ, то сВычитание целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходеВычитание целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходеМ, т.е. что из равенства (a - b) Вычитание целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе c = a Вычитание целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе c - b Вычитание целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе c   следует равенство   (a - b) Вычитание целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе сВычитание целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе= a Вычитание целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе сВычитание целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе - b Вычитание целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе сВычитание целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе.


По определению умножения, имеем: (a - b) Вычитание целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе сВычитание целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе=(а - b) Вычитание целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе (c + 1) = (а - b) Вычитание целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе c - (a - b) Вычитание целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе 1 =  (a Вычитание целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе c - b Вычитание целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе c) + (a - b)  = (a Вычитание целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе c - b Вычитание целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе с + a) - b =(a Вычитание целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе c + а) - ( b Вычитание целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе c + b) =a Вычитание целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе (c + 1) – b Вычитание целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе(c + 1)  = a Вычитание целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе сВычитание целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе- b Вычитание целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе сВычитание целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе.


Итак, мы показали, что множество М содержит 1, и из того, что оно содержит с, следует, что и сВычитание целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе содержится в М. По аксиоме 4 получаем, что    М = N.  Это значит, что равенство (a - b) Вычитание целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе c = a Вычитание целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе c - b Вычитание целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе c  верно для любых натуральных чисел с, а также для любых произвольных а и b.


Правило вычитания числа из суммы: при а Вычитание целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе с имеем, что (a + b) - c = (a - c) + b; при bВычитание целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходеc имеем, что (a + b) - c = a + (b - c); при aВычитание целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходеc и bВычитание целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходеc можно использовать любую из данных формул.


Докажем, что если а Вычитание целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе с, то (a + b) - c = (a - c) + b. Доказательство. В первом случае разность существует, т.к. a > c. Обозначим ее через ха – с = х, откуда  а = с + х. Если (a + b) – c = y, то по определению разности a + b = c + y. Подставим в это равенство вместо а выражение с + х: (с + х) + b = с + y. Воспользуемся свойством ассоциативности сложения:  с + (х + b) = с + y. Преобразуем это равенство:   x + b = y . Заменив в данном равенстве х на выражение а – с, будем иметь     (а – c) + b = y.


Таким образом, мы доказали: если а Вычитание целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе с, то (a + b) – c =  (a - c) + b.


Правило вычитания суммы из числа: при условии, что a Вычитание целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе b +c, имеем а – (b + c) = (a – b) – c.


Правило вычитания разности из числа: при a > b, имеем а – (b – c) = (a + c) – b = (a – b) +c.


Правило вычитания числа из разности: при a > b, имеем (а – b) –  c = a – (b + c).


В начальном обучении математике определение вычитания как действия, обратного сложению, в общем виде, как правило, не дается, но им постоянно пользуются, начиная с выполнения действий над однозначными числами. Различные правила вычитания являются теоретической основой различных приемов вычислений.


Например, (40 + 16) – 10 = (40 – 10) + 16 = 30 + 16 = 46 или (40 + 16) – 10 = 40 + (16 – 10) = 40 + 6 = 46.





Просмотров 6674 Комментариев 0
Познавательно:
Скажи свое мнение:
Добавить комментарий
Имя:* E-Mail:*

Вопрос:
1+1=
Ответ:*
Введите два слова, показанных на изображении: *