Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе


По правилам построения аксиоматической теории определить умножение натуральных чисел можно, используя отношение «непосредственно следовать за» и понятия, введенные ранее.


Умножением натуральных чисел называется алгебраическая операция, обладающая свойствами:


1) Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе; Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе;


2) Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе.


Будем считать, что 0 Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе 0 = 0.


Число Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе называют произведением чисел а и b, а сами эти числа – множителями.


Теорема. Если умножение натуральных чисел существует, то оно единственно.


Доказательство. Допустим, что в множестве N существуют две операции умножения, обладающие свойствами 1 и 2. Одну из них обозначим знаком Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе, а другую – знаком Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе.


Для этих операций имеем:


1) а Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе 1 = а;                                 1) а Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе1= а;


2) а Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе bУмножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе= а Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе b  + а                     2) a Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе bУмножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе= a Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе b + а.


Докажем, что Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе  (1)


Пусть число а выбрано произвольно, а b принимает различные натуральные значения. Обозначим через М множество всех тех и только тех чисел b, для которых равенство (1) истинно.


Нетрудно убедиться в том, что 1Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходеМ. Действительно, из того, что   а Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе 1 = а = а Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе1 следует, что а Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе1 = а Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе1.


Докажем теперь, что если bУмножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходеM, то bУмножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходеУмножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходеM, т.е. если а Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе b = а Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходеb, то  а Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе bУмножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе = a Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе bУмножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе. Так как а Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе b = а Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходеb, то по аксиоме 2  а Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе bУмножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе= aУмножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходеb + a; и  а Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе bУмножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе= a Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе b +a. Тогда а Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе bУмножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе = a Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе bУмножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе. Поскольку множество М содержит 1 и вместе с каждым числом b содержит и число bУмножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе, то по аксиоме 4 множество М совпадает с N, а значит равенство (1) истинно для любого натурального числа b. Так как число а было выбрано произвольно, то равенство (1) верно при любых натуральных а и b, т.е. операции Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе и Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе на множестве N могут отличаться друг от друга только обозначениями.


Докажем существование умножения.


Доказательство. Покажем, что алгебраическая операция, обладающая свойствами 1 и 2, указанными в определении, существует.


Пусть М – множество тех и только тех чисел а, для которых можно определить а Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе b так, чтобы выполнялись условия 1 и 2.


Покажем, что 1Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходеМ. Для этого при любом b предположим 1 Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе b = b (2). Тогда:


1) 1 Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе 1 = 1 -  по правилу (2), т.е. выполняется равенство а Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе 1 = а  при   а = 1.


2) 1 Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе bУмножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе = 1 Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе b + 1 = b + 1 - по правилу (2), т.е. выполняется равенство а Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе bУмножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе = a Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе b + a  при а = 1.


Итак, 1 принадлежит множеству М.


Предположим, что а принадлежит М. Исходя из этого предположения, покажем, что и  аУмножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе содержится в М, т.е. что можно определить умножение аУмножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе и любого числа b так, чтобы выполнялись условия 1 и 2. Для этого положим:


аУмножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходеУмножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе b =a Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе b + b.


Так как по предположению число а Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе b определено, то по аксиоме 2, единственным образом определяется и число a Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе b + b . Проверим, что при этом выполняются условия 1 и 2:


1)  аУмножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходеУмножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе 1 = (а + 1) Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе 1= a + 1 = аУмножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе, т.е. аУмножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходеУмножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе 1 = аУмножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе;


2)  аУмножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходеУмножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе bУмножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе = a Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе bУмножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе+ bУмножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе= a Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе (b + 1) = (b + 1) = a Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе b + a + b + 1 =           a Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе b + b + a + 1  =(a + 1) Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе b + (a + 1) =  аУмножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходеУмножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе b +  аУмножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе,  т.е.                     аУмножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходеУмножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе bУмножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе= аУмножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходеУмножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе b +  аУмножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе.


Итак, показали, что множество М содержит 1 и вместе с каждым число а содержит и число аУмножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе. По аксиоме 4, заключаем, что множество М есть множество натуральных чисел.


Таким образом, существует правило, которое позволяет для любых натуральных  чисел а и b однозначно найти такое натуральное число а Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе b, что выполняются свойства 1 и 2, сформулированные в определении умножения.


Используя определение умножения, его существование и единственность, можно вывести таблицу умножения однозначных чисел.


Делаем это в такой последовательности: сначала рассматриваем умножение на 1, затем на 2, потом на 3 и т.д.


Легко видеть, что умножение на 1 выполняется по свойству 1 в определении умножения: 1Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе1 = 1; 2Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе1 = 2; 3Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе1 = 3 и т.д.


Рассмотрим теперь случаи умножения на 2:


1Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе2 = 1Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе1Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе= 1Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе1 + 1 = 1 + 1 = 2.


 Аналогично:


2 Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе2 = 2Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе1Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе= 2Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе1 + 2 = 2 + 2 = 4;


3Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе2 = 3 Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе1Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе= 3Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе1 + 3 = 3 + 3 = 6.


Далее можно рассмотреть процесс умножения на 3:


1Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе3 = 1Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе2Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе = 1Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе2 + 1 =1Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе1Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе + 1 = (1Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе1 + 1)  + 1 = (1 + 1) +1 = 2 +1 = 3;


2Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе3 = 2Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе2Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе = 2Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе2 + 2 =2Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе1Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе + 2 = (2Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе1 + 2)  + 2 = (2 + 2) +2 = 4 +2 = 6.


Если продолжить этот процесс, получим всю таблицу умножения однозначных чисел.


Используя определение умножения, найдем значение выражения  3Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе4.


Решение. 3Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе4 = 3Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе3Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе= 3Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе3 + 3 = 3Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе2Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе+ 3 = (3 Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе2 + 3) + 3 = (3Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе1Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе + 3) +3 = ((3Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе1 + 3) + 3) + 3 = ((3 + 3) + 3) + 3 = (6 + 3) + 3 = 9 + 3 = 12.


Умножение натуральных чисел обладает следующими свойствами: оно коммутативно (a Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе b = b Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе a), ассоциативно  ((a Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе b) Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходеc = a  Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе(b Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе c)) и дистрибутивно относительно сложения (a + b) Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе c=aУмножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходеc+bУмножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходеc.
         Докажем свойство дистрибутивности умножения относительно сложения.


Доказательство. Пусть натуральные числа a и b выбраны произвольно, а с принимает различные натуральные значения. Обозначим через М множество таких натуральных чисел с, для которых верно равенство (a + b) Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе c = a Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе c + b Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе c.


Докажем, что 1Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходеМ, т.е. что  равенство (а + b) Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе 1 = а Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе 1 + b Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе 1 истинно. Согласно свойству 1 из определения умножения имеем: (а + b) Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе1 = а + b = а  Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе 1 + b Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе 1.


Докажем теперь, что если с Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходеМ, то сУмножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходеУмножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходеМ, т.е. что из равенства             (a + b) Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе c = a Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе c + b Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе c   следует равенство   (a + b) Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе сУмножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе= a Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе сУмножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе + b Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе сУмножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе. По определению умножения, имеем: (a + b) Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе сУмножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе= (а + b) Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе c + (a + b) = (a Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе c + b Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе c) + (a + b) = [используя ассоциативное и коммутативное свойство сложения, выполним преобразования] = (a Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе c + b Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе с + a) + b = (a Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе c + а + b Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе c) + b = (a Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе c + а) + (b Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе c + b) = [по определению умножения] = a Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе сУмножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе+ b Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе сУмножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе.


Итак, мы показали, что множество М содержит 1, и из того, что оно содержит с, следует, что и сУмножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе содержится в М. По аксиоме 4 получаем, что    М = N.  Это значит, что равенство (a + b) Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе c = a Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе c + b Умножение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе c  верно для любых натуральных чисел с, а также для любых произвольных а и b.




Докажем коммутативность умножения.
Доказательство. Докажем, что для любого натурального числа а имеет место равенство а 1 = 1 а. Пусть М множество всех тех чисел а, для которых это равенство истинно. Так как 1 1 = 1 1 – истинное равенство, то 1 принадлежит множеству М.

Докажем теперь, что если а М, то а М, т.е. из равенства а 1 = 1 а следует равенство а 1 = 1 а . Действительно, а 1 = (а + 1) 1 = [дистрибутивность умножения] = а 1 + 1 1 = 1 а + 1 1 = 1 (а + 1) = 1 а .
Докажем теперь, что для любых натуральных чисел а и b верно равенство а b = b a. Пусть а – произвольное натуральное число, а b принимает различные натуральные значения. Обозначим через М множество всех тех чисел b, для которых равенство а b = b a истинно.

Так как при b = 1 получаем равенство а 1 = 1 а, истинность которого доказана, то 1 содержится в М.
Докажем, что если b принадлежит М, то и b принадлежит М, т.е. из равенства а b = b a следует равенство а b = b a. Действительно, а b = а (b +1) = a b + a = b a + a = (b + 1) a = b a.

Итак, мы доказали, что 1 содержится в М и вместе с каждым числом b множество содержит и число b , непосредственно следующее за b. По аксиоме 4 получаем, что М = N, т.е. равенство а b = b a истинно для любого натурального числа b, а также для любого произвольного числа а.

Аналогично можно доказать и ассоциативность умножения.
Задача. Найти значение выражения, используя свойства умножения: а) 125 15 6; б) (8 379) 125; в) 49 54 + 36 49 +90 51; г) 47 3.

Решение. а) 125 15 6 = [применим ассоциативность умножения] = 125 (15 6) = 125 90 = 11200;
б) (8 379) 125 = [применим ассоциативность умножения, что позволит нам расставить скобки, как нам необходимо, и коммутативность умножения, что позволит нам поменять множители местами] = (8 125) 379 = 1000 379 = 379000;
в) 49 54 + 36 49 + 90 51 = [применим ассоциативность для второго произведения] = 49 54 + 49 36 + 90 51 = [применим дистрибутивность относительно первого и второго слагаемого данной суммы] = 49 (54 + 36) + 90 51 = 49 90 + 90 51 = [применим ассоциативность для первого произведения] = 90 (49 + 51) = 90 100 = 900;
г) 47 3 = [представим первый множитель в виде суммы] = (40 + 7) 3 = [применим дистрибутивность] = 40 3 + 7 3 = 120 + 21 = 141 .





Просмотров 8792 Комментариев 0
Познавательно:
Скажи свое мнение:
Добавить комментарий
Имя:* E-Mail:*

Вопрос:
1+1=
Ответ:*
Введите два слова, показанных на изображении: *