Умножение в десятичной системе счисления. Алгоритм умножения


Умножение однозначных чисел можно выполнить, основываясь на определении этого действия. Но чтобы всякий раз не обращаться к определению, все произведения однозначных чисел записывают в особую таблицу, называемую таблицей умножения однозначных чи­сел, и запоминают.


Сначала рассмотрим умножение многозначного числа на однозначное. Умножим, например, 537 на 4. Согласно правилу записи чи­сел в десятичной системе счисления, 537 можно представить в виде 5×102 + 3×10 + 7 и тогда 537×4 = (5×102+3×10+7)×4. На основании дистрибутивности умножения относительно сложения раскроем скобки: (5×102)×4+(3×10)×4+7×4. Далее воспользуемся коммутативностью и ассоциативностью умножения: (5×4)×102+ +(3×4)×10+7×4.  Произведения в скобках могут быть найде­ны по таблице умножения однозначных чисел: 20×102+12×10+28. Коэф­фициенты перед степенями 10 должны быть меньше 10. Для этого представим число 20 в виде 2×10, число 12 в виде 1×10 + 2, а число 28 в виде 2×10 + 8. Затем в выражении 2×10×102+(1×10+2)×10+(2×10+8) раскроем скобки: 2×103+1×102+2×10+2×10+8. На основании ассоциативности сложения и дистрибутивности умножения относительно сложения сгруппируем сла­гаемые 2×10 и 2×10 и вынесем 10 за скобки: 2×103+1×102+(2+2)×10+8. Сумма 2+2 есть сумма однозначных чисел и может быть найдена по таблице сложения: 2×103+1×102+4×10+8. Полученное выражение есть десятичная запись числа 2148, т.е. 537×4 = 2148.


Таким образом, умножение многозначного числа на однозначное основывается на:


-  записи чисел в десятичной системе счисления;


-  свойствах сложения и умножения;


-таблицах сложения и умножения однозначных чисел.


Выведем правило умножения многозначного числа на однозначное в общем виде. Пусть требуется умножить


х = аn×10n + аn-1×10n-1 + ... + а1×10 + а0


на однозначное число у:


х × у = (а10n + аn-1×10n-1 + ... + а1×10 + а0) × у = (аn× у)×10n + (аn-1 ×у)×10n-1 + +...+ ау,


причем преобразования выполнены на основании свойств умножения. После этого, используя таблицу умножения, заменяем все произведе­ния ак×у, где 0 £ k £ п, соответствующими значениями аk× у = bk×10 + с и получаем:  


х × у = (bn×10 + сn) ×10n + (bn­-1×10 + сn-1) ×10n-1 + ... + (b1×10 + с1) ×10 + (b0×10 +


+ с0) = bn×10n+1 + (сn + bn­-1) ×10n + ... + (с1 + b0) × 10 + с0). По таблице сложения заменяем суммы сk + bk-1 где 0 £ к £ п и k = 0, 1, 2, ..., n, их значениями. Если, например, с0 одно­значно, то последняя цифра произведения равна с0. Если же с0 = 10 + т0, то последняя цифра равна т0, а к скобке (с1 + b0) надо прибавить 1. Продолжая этот процесс, получим десятичную запись числа х × у.


Описанный процесс позволяет сформулировать в общем виде алгоритм умножения многозначного числа Умножение в десятичной системе счисления. Алгоритм усножения на однозначное число y.


1. Записываем второе число под первым.


2. Умножаем цифры разряда единиц числа х на число у. Если про­изведение меньше 10, его записываем в разряд единиц ответа и пере­ходим к следующему разряду (десятков).


3. Если произведение цифр единиц числа х на число у больше или равно 10, то представляем его в виде 10q1 + с0, где с0 - однозначное число; записываем с0 в разряд единиц ответа и запоминаем q1 - пере­нос в следующий разряд.


4. Умножаем цифры разряда десятков на число у, прибавляем к по­лученному произведению число q1 и повторяем процесс, описанный в пп. 2 и 3.


5. Процесс умножения заканчивается, когда окажется умноженной цифра старшего разряда.


Как известно, умножение числа х на число вида 10k сводится к приписыванию к десятичной записи данного числа k нулей. Покажем это. Умножим число х = а10n + аn-1×10n-1 + ... + а1×10 + а0 на 10k:


(а10n + аn-1×10n-1 + ... + а1×10 + а0) × 10k = а10n+k + аn-1×10n+k-1 + ... + а0×10k


Полученное  выражение  является   суммой   разрядных  слагаемых   числа Умножение в десятичной системе счисления. Алгоритм усножения, так как равно а10n+k + аn-1×10n+k-1 + ... + а0×10k + + 0×10k-1 + 0×10k-2 + ... + 0×10 + 0. Например, 347×103 = (3×102 + 4×10 + 7) × 103 = 3×105 + 4×104 + 7×103 = 3×105 + 4×104 + 7×103 + 0×102 + 0×10 + 0 = 347000.


Заметим еще, что умножение на число у× 10k, где у – однозначное число, сводится к умножению на однозначное число у и на число 10 k. Например, 52×300 = 52×(3×102) = (52×3)×102 = 156×102 = 15600.


Рассмотрим теперь алгоритм умножения многозначного числа на многозначное. Проиллюстрируем алгоритм умножения многозначного числа 437 на многозначное число 254.


Представим число 254 в виде суммы 2·102+5·10+4 и запишем произведение 437·(2·102+5·10+4). Оно, согласно дистрибутивности умножения относительно сложения, равно 437·(2·102)+437·(5·10)+437·4. Отсюда, применив ассоциативное свойство умножения, получим (437·2)·102+(437·5)·10+437·4. Видим, что умножение многозначного числа 437 на многозначное число 254 свелось к умножению многозначного числа 437 на однозначные числа 2, 5 и 4, а также на степени 10. Таким образом получаем: 87400+21850+1748. Пользуясь алгоритмом сложения многозначных чисел, имеем:


 












  87400


+21850


    1748



110998



 


 


 


Значит, 437·254=110998.


Сформулируем в общем виде алгоритм умножения числа Умножение в десятичной системе счисления. Алгоритм усножения на число Умножение в десятичной системе счисления. Алгоритм усножения.


1.        Записываем множитель x и под ним второй множитель у.


2.        Умножаем число x на младший разряд b0 числа у и записываем произведение х·b0 под числом у.


3.        Умножаем число х на следующий разряд b1, числа у и записыва­ем произведение х·b1, но со сдвигом на один разряд влево, что соот­ветствует умножению х·b1 на 10.


4.        Продолжаем вычисление произведений до вычисления х·bk.


5.        Полученные k + 1 произведения складываем.


Изучение алгоритма умножения многозначных чисел в начальном курсе математики, как правило, проходит в соответствии с выделенными этапами.





Просмотров 10141 Комментариев 0
Познавательно:
Скажи свое мнение:
Добавить комментарий
Имя:* E-Mail:*

Вопрос:
1+1=
Ответ:*
Введите два слова, показанных на изображении: *