Сложение чисел в десятичной системе счисления. Алгоритм сложения


Сложение однозначных чисел можно выполнить, основываясь на определении этого действия, но чтобы всякий раз не обращаться к оп­ределению, все суммы, которые получаются при сложении однознач­ных чисел, записывают в особую таблицу, называемую таблицей сло­жения однозначных чисел, и запоминают.


Естественно, смысл сложения сохраняется и для многозначных чи­сел, но практическое выполнение сложения происходит по особым пра­вилам. Сумму многозначных чисел обычно находят, выполняя сложе­ние столбиком. Например,


+   341


  7238


  7579


Выясним, каким образом возникает этот алгоритм, какие теорети­ческие положения лежат в его основе.


Проиллюстрируем теоретические основы алгоритма сложения, вычислив суммы: 532+8347.


Представим слагаемые 532 и 8347 в виде суммы степеней десяти с коэффициентами:


Сложение чисел в десятичной системе счисления. Алгоритм сложения


Раскроем скобки в полученном выражении, поменяем местами и сгруппируем слагаемые так, чтобы единицы оказались рядом с единицами, десятки с десятками и т.д. Все эти преобразования можно выполнить на основании соответствующих свойств сложения. Свойство ассоциативности разрешает записать выражение без скобок:


Сложение чисел в десятичной системе счисления. Алгоритм сложения


На основании свойства коммутативности поменяем местами слагаемые: Сложение чисел в десятичной системе счисления. Алгоритм сложения. Согласно свойству ассоциативности произведем группировку: Сложение чисел в десятичной системе счисления. Алгоритм сложения Сложение чисел в десятичной системе счисления. Алгоритм сложения. Вынесем за скобки в первой выделенной группе число 102, а во второй – 10. Это можно сделать в соответствии со свойством дистрибутивности умножения относительно сложения:


Сложение чисел в десятичной системе счисления. Алгоритм сложения.


Итак, сложение данных чисел свелось к сложению однозначных чисел, изображенных цифрами соответствующих разрядов. Эти суммы находим по таблице сложения: Сложение чисел в десятичной системе счисления. Алгоритм сложения. Полученное выражение есть десятичная запись числа 8879.


Видим, что в основе алгоритма сложения многозначных чисел ле­жат следующие теоретические факты:


-  способ записи чисел в десятичной системе счисления;


-  свойства коммутативности и ассоциативности сложения;


-  дистрибутивность умножения относительно сложения;


-  таблица сложения однозначных чисел.


Нетрудно убедиться в том, что в случае сложения чисел «с переходом через десяток» теоретические основы алгоритма сложения будут теми же.


Рассмотрим, например, суммы: 637+548.


Представим слагаемые в виде суммы степеней десяти с соответствующими         коэффициентами: Сложение чисел в десятичной системе счисления. Алгоритм сложения


Воспользуемся свойствами сложения и дистрибутивностью умножения относительно сложения и преобразуем полученное выражение к такому виду: Сложение чисел в десятичной системе счисления. Алгоритм сложенияСложение чисел в десятичной системе счисления. Алгоритм сложения. Видим, что в этом случае сложение данных чисел также свелось к сложению однозначных чисел, но суммы 6+5 и 7+8 превышают 10 и поэтому последнее выражение не является десятичной записью числа. Необходимо сделать так, чтобы коэффициенты перед степенями 10 оказались меньше 10. Для этого выполним ряд преобразований. Сначала сумму 7+8 представим в виде 1·10+5:


(6+5)·102+(3+4)·10+(1·10+5).


Затем воспользуемся свойствами сложения и умножения и приведем полученное выражение к виду: (6+5)·102+(3+4+1)·10+5. Суть последнего преобразования такова: десяток, который получился при сложении единиц, прибавим к десяткам данных чисел. И наконец, записав сумму 6+5 в виде 1·10+1, получаем (1·10+1)·102+8·10+5=103+102+8·10+5. Последнее выражение есть десятичная запись числа 1185. Следовательно, 637+548=1185.


В общем виде алгоритм сложения натуральных чисел, записанных в десятичной системе счисления, формулируют так:


1.  Записывают второе слагаемое под первым так, чтобы соответст­вующие разряды находилось друг под другом.


2.  Складывают единицы первого разряда. Если сумма меньше деся­ти, записывают ее в разряд единиц ответа и переходят к следующему Разряду (десятков).


3. Если сумма единиц больше или равна десяти, то представляют ее в виде а0 + b0 = 1 × 10 + с0, где с0 - однозначное число; записывают с0 в разряд единиц ответа и прибавляют 1 к десяткам первого сла­гаемого, после чего переходят к разряду десятков.


4. Повторяют те же действия с десятками, потом с сотнями и т.д. Процесс заканчивается, когда оказываются сложенными цифры стар­ших разрядов. При этом, если их сумма больше или равна десяти, то приписываем впереди обоих слагаемых нули, увеличиваем нуль перед первым слагаемым на 1 и выполняем сложение 1 + 0 = 1.


Заметим, что в этом алгоритме (как и в некоторых других) для краткости употребляется термин «цифра» вместо «однозначное число, изображаемое цифрой».





Просмотров 16166 Комментариев 0
Познавательно:
Скажи свое мнение:
Добавить комментарий
Имя:* E-Mail:*

Вопрос:
1+1=
Ответ:*
Введите два слова, показанных на изображении: *