Теоретико-множественный смысл произведения


Понятие произведения может быть определено по-разному. Рассмотрим подход, в основе которого лежит понятие суммы.


Если a, b – целые неотрицательные числа, то произведением aТеоретико-множественный смысл произведенияb называется число, удовлетворяющее следующим условиям:


1)    Теоретико-множественный смысл произведенияaТеоретико-множественный смысл произведенияb = а + а + а + …+ а, если b > 1;


                                b слагаемых


2)  aТеоретико-множественный смысл произведенияb = а, если b = 1;


3)  aТеоретико-множественный смысл произведенияb = 0, если b = 0.


С теоретико-множественных позиций aТеоретико-множественный смысл произведенияb (b > 1) представляет число элементов в объединении b множеств, каждое из которых содержит по а элементов и никакие два из них не пересекаются.


aТеоретико-множественный смысл произведенияb = n(Теоретико-множественный смысл произведения), если n(AТеоретико-множественный смысл произведения) = n(AТеоретико-множественный смысл произведения) = … = n(AТеоретико-множественный смысл произведения) = a  и множества   AТеоретико-множественный смысл произведения, AТеоретико-множественный смысл произведения, …, AТеоретико-множественный смысл произведения попарно не пересекаются.


Рассмотрим подход, в основе которого лежит понятие декартового произведения множеств.


Пусть даны два множества: А = {Теоретико-множественный смысл произведения}, B = {Теоретико-множественный смысл произведения}. Найдем декартово произведение, которое запишем в виде прямоугольной таблицы:               (Теоретико-множественный смысл произведения),  (Теоретико-множественный смысл произведения),  …,  (Теоретико-множественный смысл произведения),


(Теоретико-множественный смысл произведения),  (Теоретико-множественный смысл произведения),  …,  (Теоретико-множественный смысл произведения),


……………………………


(Теоретико-множественный смысл произведения),  (Теоретико-множественный смысл произведения),   …,  (Теоретико-множественный смысл произведения).


В каждой строке таблицы все пары имеют одинаковую первую компоненту, а в каждом столбце одинаковая вторая компонента. При этом никакие две строки не имеют хотя бы одной одинаковой пары.


Отсюда следует, что число элементов в декартовом произведении Теоретико-множественный смысл произведения равно сумме k слагаемых, каждое из которых равно n, т.е. произведению чисел n и k. Таким образом, n(Теоретико-множественный смысл произведения) = n(A) Теоретико-множественный смысл произведенияn(B).


     При k = 0 данное равенство также верно, поскольку В = Теоретико-множественный смысл произведения и   n(Теоретико-множественный смысл произведения) = n(A) Теоретико-множественный смысл произведенияn(Теоретико-множественный смысл произведения) = a Теоретико-множественный смысл произведения 0 = 0.


С теоретико-множественной точки зрения произведение aТеоретико-множественный смысл произведенияb целых неотрицательных чисел есть число элементов в декартовом произведении множеств А и В, таких, что n(A) = a, n(B) = b.


  aТеоретико-множественный смысл произведенияb = n(A) Теоретико-множественный смысл произведения n(B) = n(Теоретико-множественный смысл произведения)


Действие, при помощи которого находят произведение чисел, называют умножением, а числа, которые умножают, называют множителями.


Умножение обладает коммутативностью, ассоциативностью и дистрибутивностью (переместительный, сочетательный и распределительный законы).


Рассмотрим коммутативность с точки зрения теоретико-множественного подхода, т.е. aТеоретико-множественный смысл произведенияb =bТеоретико-множественный смысл произведенияa.


Пусть  n(A )= a, n(B) = b. Тогда по определению произведения aТеоретико-множественный смысл произведенияb = n(Теоретико-множественный смысл произведения) . Но множества Теоретико-множественный смысл произведения = Теоретико-множественный смысл произведения равномощны: каждой паре (а;b) из множества  Теоретико-множественный смысл произведения можно поставить в соответствие единственную пару (b;a) из множества Теоретико-множественный смысл произведения, и наоборот.


Следовательно, n(Теоретико-множественный смысл произведения) = n(Теоретико-множественный смысл произведения). Значит aТеоретико-множественный смысл произведенияb = bТеоретико-множественный смысл произведенияa.


Ассоциативность (aТеоретико-множественный смысл произведенияb)Теоретико-множественный смысл произведенияc = aТеоретико-множественный смысл произведения(bТеоретико-множественный смысл произведенияc) вытекает из того, что множества (Теоретико-множественный смысл произведения)Теоретико-множественный смысл произведения = Теоретико-множественный смысл произведенияТеоретико-множественный смысл произведения) равномощны, а значит n((Теоретико-множественный смысл произведения)Теоретико-множественный смысл произведения) = n(Теоретико-множественный смысл произведенияТеоретико-множественный смысл произведения)).


         Дистрибутивность рассматривают относительно сложения и вычитания. Рассмотрим относительно сложения: (a + b)Теоретико-множественный смысл произведенияc = aТеоретико-множественный смысл произведенияc + bТеоретико-множественный смысл произведенияc.


По определению произведения имеем (a + b)Теоретико-множественный смысл произведенияc = n((Теоретико-множественный смысл произведения). Но Теоретико-множественный смысл произведения, поэтому  n((Теоретико-множественный смысл произведения) = n(Теоретико-множественный смысл произведения, а значит и (a + b)Теоретико-множественный смысл произведенияc = aТеоретико-множественный смысл произведенияc + bТеоретико-множественный смысл произведенияc.


Объясним, почему 3Теоретико-множественный смысл произведения2 = 6?


Решение. Используя первое определение, произведение 3Теоретико-множественный смысл произведения2 можно записать в виде суммы 3 + 3. Возьмем различные множества К и С такие, что n(K) = n(C) = 3. Допустим К = {1, 2, 3}, C = { 4, 5, 6}. По определению нам нужно найти количество элементов в объединении КТеоретико-множественный смысл произведенияС. Т.к. КТеоретико-множественный смысл произведенияС = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, то n(КТеоретико-множественный смысл произведенияС) = 6. Значит 3Теоретико-множественный смысл произведения2 = 6.


Используем второе определение. Пусть n(A) = 3, n(B) = 2. А = {a, b, c}, B = {q, w}. Найдем декартово произведение данных множеств: Теоретико-множественный смысл произведения = {(a, q), (a, w), (b, q), (b, w), (c, q), (c, w)}. Количество пар в декартовом произведении равно 6. Значит 3Теоретико-множественный смысл произведения2 = 6


 Определим произведение нескольких множителей.


Пусть произведение двух множителей  определено и определено произведение n множителей. Тогда произведение, состоящее из n + 1 множителя, т.е. произведение Теоретико-множественный смысл произведения, равно Теоретико-множественный смысл произведения.


С помощью определения суммы нескольких множителей, найдем произведение 2Теоретико-множественный смысл произведения7Теоретико-множественный смысл произведения5Теоретико-множественный смысл произведения9.


Решение. Чтобы найти произведение 2Теоретико-множественный смысл произведения7Теоретико-множественный смысл произведения5Теоретико-множественный смысл произведения9 согласно этому правилу, надо выполнить последовательно следующие преобразования: (2Теоретико-множественный смысл произведения7Теоретико-множественный смысл произведения5)Теоретико-множественный смысл произведения9 = ((2Теоретико-множественный смысл произведения7)Теоретико-множественный смысл произведения5)Теоретико-множественный смысл произведения9 = (14Теоретико-множественный смысл произведения5)Теоретико-множественный смысл произведения9 = 70Теоретико-множественный смысл произведения9 = 630.


Обоснуем выбор решения нескольких задач.


Задача 1. На одно пальто пришивают 4 пуговицы. Сколько пуговиц нужно пришить на 3 таких пальто? Решите задачу и обоснуйте ее решение.


Решение. В задаче идет речь о трех множествах, в каждом из которых по 4 элемента. Требуется узнать число элементов в объединении этих трех множеств.


Если n(AТеоретико-множественный смысл произведения) = n(AТеоретико-множественный смысл произведения) = n(AТеоретико-множественный смысл произведения) = 4, то n(Теоретико-множественный смысл произведения) = n(AТеоретико-множественный смысл произведения) + n(AТеоретико-множественный смысл произведения) + n(AТеоретико-множественный смысл произведения) = 4 + 4 + 4 = 4Теоретико-множественный смысл произведения3 = 12.


Значит, на три пальто нужно пришить 12 пуговиц.


Задача 2. Школьники посадили в парке 4 ряда деревьев по 5 штук в каждом ряду. Сколько деревьев они посадили? Объясните, почему данная задача решается при помощи умножения.


Теоретико-множественный смысл произведенияРешение. Обозначим деревья кружками. Тогда получим 4 ряда кружков по 5 в каждом (рис.10). Всего таких кружков окажется 20, т.е. 4Теоретико-множественный смысл произведения5.


Возьмем множества А и В такие, что         n(A) = 4, n(B) = 5 и найдем их декартово произведение. Пусть А = {1, 2, 3, 4}, B = {5, 6, 7, 8, 9}. Тогда     Теоретико-множественный смысл произведения = {(1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (1, 9), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (2, 9), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (3, 9),  (4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8), (4, 9)}.

















Рис.10


 
       Количество элементов в декартовом произведении n(Теоретико-множественный смысл произведения) = 20, т.е. n(Теоретико-множественный смысл произведения) =       n(A) Теоретико-множественный смысл произведения n(B) = 4 Теоретико-множественный смысл произведения5 = 20.


     Следовательно,  школьники посадили  20  деревьев.


     Различные законы умножения позволяют упростить вычисления. Например, используя распределительный закон умножения, найдем 297Теоретико-множественный смысл произведения8.


Решение. 297Теоретико-множественный смысл произведения8 = (300 – 3) Теоретико-множественный смысл произведения8 = 300Теоретико-множественный смысл произведения8 – 3Теоретико-множественный смысл произведения8 = 2400 – 24 = 2376.


Решим следующую задачу различными способами и обоснуем выбор способа: «В гараже в 3 ряда стояло по 9 машин. Из каждого ряда выехало 8 машин. Сколько машин осталось в гараже?»


Теоретико-множественный смысл произведенияРешение (рис. 11).         1 способ. Если в каждом ряду стояло по 9 машин и из каждого ряда выехало 8 машин, то в каждом ряду осталось по 1 машине. Так как всего 3 ряда, то и осталось 1Теоретико-множественный смысл произведения3 =


                                                                   3 машины.


2 способ. Найдем общее количество машин: 3Теоретико-множественный смысл произведения9 = 27. Теперь найдем количество машин, которые выехали из каждого из трех рядов: 3Теоретико-множественный смысл произведения8 =24. Тогда в гараже осталось 27 – 24 = 3 машины. Ответ: осталось 3 машины.





Просмотров 12522 Комментариев 0
Познавательно:
Скажи свое мнение:
Добавить комментарий
Имя:* E-Mail:*

Вопрос:
1+1=
Ответ:*
Введите два слова, показанных на изображении: *