Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей


В практической деятельности широко используются дроби, знаменатели которых являются степенями 10. Их называют десятичными.


 Десятичной называется дробь вида Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей, где т и  п – натуральные числа.


Десятичные дроби принято записывать без знаменателя. Например, дробь – Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробейзаписывают в виде 3,67, а дробь Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей – в виде 0,007.


Выясним, как образуется такая запись.


Пусть дана дробь Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей, где m, nÎN. Представим ее числитель в следующем виде:


Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей


Тогда, по правилам действий над степенями при Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей, получим:


Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей


Сумма  Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробейявляется записью целого неотрицательного числа (обозначим его буквой А), а сумма Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробейпредставляет дробную часть числа, ее принято записывать без знаменателя в виде Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей. Таким образом, дробь Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей можно представить в следующем виде: Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей, т.е. при записи дроби Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей последние n цифр десятичной записи числа m отделяют запятой. Если числитель содержит менее чем n десятичных знаков, то перед ним пишут столько нулей, чтобы получилась Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробейцифра, после чего отделяют запятой n знаков, начиная с конца. Например,


Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей


Как известно, сравнение десятичных дробей и арифметические действия над ними легко выполнять, если дроби имеют один и тот же знаменатель.


В основе приведения десятичных дробей к общему знаменателю лежит следующее утверждение: если к десятичной дроби Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей приписать справа любое число нулей, то получится десятичная дробь, равная данной.


Это свойство позволяет приводить десятичные дроби к общему знаменателю следующим образом: если у одной дроби после запятой стоит n цифр, а у другой p цифр, причемЗапись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей, то для приведения их к общему знаменателю достаточно к первой дроби приписать справа Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей нулей. Тогда у обеих дробей после запятой будет стоять поровну цифр, а это значит, что они имеют один и тот же знаменатель.


Пользуясь этим правилом, легко выполнять сравнение десятичных дробей, так как оно сводится к сравнению натуральных чисел: чтобы сравнить две десятичные дроби, надо уравнять в них число десятичных знаков после запятой, отбросить запятые и сравнить получившие­ся натуральные числа.


Например, Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей, так как Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей, а Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей, так как Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей.


Как известно, для дробей, имеющих одинаковые знаменатели, сложение и вычитание сводится к соответствующим операциям над их числителями. Это позволяет свести сложение и вычитание десятичных дробей к действиям над натуральными числами.


Например,


Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей


Умножение и деление десятичных дробей не требует приведения их к общему знаменателю, но они также сводятся к соответствую­щим действиям над натуральными числами.


Среди десятичных дробей выделяют и часто используют дробь Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей. Ее называют процентом и обозначают Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей. Запись Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей обозначает Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей. Например, Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей - это дробь          Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей, или Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей.


Проценты были введены, когда не существовало десятичных дробей. Чтобы производить расчеты по займам, определяли при­рост капитала из расчета 100 денежных единиц. Этот прирост и называли числом процентов (pro centum - на сто).


Простота сравнения и выполнения действий над десятичными дробями приводит к следующему вопросу: любую ли дробь вида Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей (т, п е N) можно записать в виде конечной десятичной дроби, т.е. дроби, у которой после запятой стоит конечное число цифр? Ответ на него дает следующая теорема.


Теорема. Для того чтобы несократимая дробь Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей была равна десятичной, необходимо и достаточно, чтобы в разложение ее знаме­нателя п на простые множители входили лишь простые числа 2 и 5.


Доказательство. Пусть разложение знаменателя n на простые множители имеет вид Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей и пусть Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей. Тогда Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей.


Это значит, что Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей.


Обратно. Пусть Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей, то есть Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей. Если бы в разложении знаменателя n на простые множители входило простое число р, отличное от 2 и 5, то Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей делилось бы на р. Но Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей не делится на р, тогда m делится на р, и дробь Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей можно было бы сократить на р вопреки предположению. Получили противоречие.


Так, например, дробь Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей можно записать в виде десятичной: она несократима и Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей. Дробь Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей несократима, но Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей. Поскольку в разложение знаменателя этой дроби входит множитель, отличный от 2 и 5, то дробь Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей нельзя записать в виде десятичной.


Дробь Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей нельзя представить в виде конечной десятичной дроби. Но, деля 1 на 3, получаем, что Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей. Далее находим, что Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей; Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей и т.д. Вообще для любого n имеем: Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей


Вместо того, чтобы писать бесконечное множество неравенств, говорят, что дроби Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей соответствует бесконечная десятичная дробь Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей. Это означает, что если отбросить в бесконечной дроби все цифры, начиная с некоторой, то будем иметь число, меньшее Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей, а если в полученном числе увеличить последнюю цифру на 1, то будет число, большее Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей.


Любую конечную десятичную дробь можно записать в виде бесконечной, приписав к ней справа последовательность нулей. Например, дробь 0,25 можно записать так: Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей Здесь  для всех цифр, начиная с некоторой, получится число, не превосходящее Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей. Например, если оставить лишь одну цифру после запятой, то получится Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей, которое меньшее Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей, а если оставить три цифры после запятой, то будет число Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей, равное Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей. Если же после отбрасывания увеличить последнюю цифру на 1,то имеем число, большее Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей (например, Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробейили Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей).


Бесконечные десятичные дроби, которые получаются при записи положительного рационального числа, обладают особенностью - они являются периодическими. Это значит, что, начиная с некоторой цифры, они образуются бесконечным повторением одной и той же группы цифр. Например, число Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей выражается бесконечной десятичной дробью Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей, а число Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей - бесконечной десятичной дробью Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей Для краткости первую из дробей пишут в виде Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей, а вторую - в виде Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей. В скобки заключают повторяющуюся группу цифр, которую называют периодом этой дроби. Отметим, что вместо Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей можно было написать и Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей, но эта запись более длинная.


Приведенные рассуждения приводят к следующей теореме.


Теорема. Любое положительное рациональное число представимо бесконечной периодической десятичной дробью.


Доказательство. Пусть рациональное число представлено несократимой дробью Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей. Чтобы преобразовать ее в десятичную,  надо выполнить деление натурального числа m на натуральное число n. При этом будут остатки, меньшие n, т.е. числа вида 0, 1, 2, ... n-1.Если хотя бы один из остатков окажется равным нулю, то после деления получится конечная десятичная дробь (или, что то же самое, бесконечная десятичная дробь, заканчивающаяся последовательностью нулей). Если же все остатки отличны от нуля, то деление будет представлять собой бесконечный процесс, но количество различных остатков конечно, и поэтому, начиная с некоторого шага, какой-то остаток повторится, что приведет к повторению цифр в частном.


Покажем на примере перевод периодических дробей в обыкновенные.


Пусть дана дробь 0.(28). Обозначим соответствующее ей рациональное число через а, тогда а=0.282828… Домножим обе части равенства на 100. Получим 100а=28.2828…, 100а=28+0.2828…, 100а=28+а, а=Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей. Эта дробь несократимая.


Вообще чисто периодическая бесконечная десятичная дробь равна такой обыкновенной дроби, числитель которой равен периоду, а знаменатель состоит из стольких девяток, сколько цифр в периоде дроби.


Пусть дана смешанно периодическая дробь 0.8(61) т.е. 0.86161.… Обозначим соответствующее ей рациональное число через а, тогда а=0.86161.… Умножив обе части этого равенства на 10, получим 10а=8.6161... - чисто периодическую дробь. Дальнейшие преобразования проводятся аналогично выполненным выше. Положим х=8.6161…. Умножим обе части этого равенства на 100: 100х=861.6161…, или 100х=861+0.6161…. Прибавим к обеим частям по 8: 100х+8=861+8.6161…. Но так как 8.6161…= х, получим уравнение 100х+8=861+х, откуда Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей. Подставим это значение х в равенство 10а=8.6161…: Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей, откуда Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей.


Вообще смешанно периодическая дробь с нулем в целой части равна такой обыкновенной дроби, числитель которой равен разности между числом, записанным цифрами, стоящими до начала второго периода, и числом, записанным цифрами, стоящими до начала первого периода, а знаменатель состоит из такого числа девяток, сколько цифр в периоде, и такого числа нулей, сколько цифр стоит до начала первого периода.





Просмотров 8463 Комментариев 0
Познавательно:
Скажи свое мнение:
Добавить комментарий
Имя:* E-Mail:*

Вопрос:
1+1=
Ответ:*
Введите два слова, показанных на изображении: *