Множество положительных рациональных чисел как расширение множества натуральных чисел


Чтобы множество Q+ положительных рациональных чисел являлось расширением множества N натуральных чисел, необходимо выполнение ряда условий.


Первое условие - это существование между N и Q+ отношения включения. Докажем, что N Множество положительных рациональных чисел как расширение множества натуральных чисел Q+.


Пусть длина отрезка х при единичном отрезке е выражается натуральным  числом т. Разобьем единичный отрезок на п равных частей. Тогда n-ая часть единичного отрезка будет укладываться в отрезке х точно Множество положительных рациональных чисел как расширение множества натуральных чисел раз, т.е. длина отрезка х будет выражена дробью Множество положительных рациональных чисел как расширение множества натуральных чисел. Значит, длина отрезка х выражается и натуральным числом т, и положительным рациональным числом Множество положительных рациональных чисел как расширение множества натуральных чисел. Но это должно п быть одно и то же число. Поэтому целесообразно считать, что дроби вида Множество положительных рациональных чисел как расширение множества натуральных чисел являются записями натурального числа т. Следовательно, N Множество положительных рациональных чисел как расширение множества натуральных чисел Q+.


Так, например, натуральное число 6 можно представить в виде следующих дробей: Множество положительных рациональных чисел как расширение множества натуральных чисел, Множество положительных рациональных чисел как расширение множества натуральных чисел, Множество положительных рациональных чисел как расширение множества натуральных чисел, Множество положительных рациональных чисел как расширение множества натуральных чисел, Множество положительных рациональных чисел как расширение множества натуральных чисел, и т. д.


Множество положительных рациональных чисел как расширение множества натуральных чиселОтношение между множествами N и Q+ представлено на рисунке 28.


Подпись: Рис.28Числа, которые дополняют множество на­туральных чисел до множества положительных  рациональных, называются дробными.


                          Второе условие, которое должно быть вы­полнено при расширении множества нату­ральных чисел, - это согласованность опера­ций, т.е. результаты арифметических дейст­вий, произведенных по правилам, существующим для натуральных чисел, должны совпадать с результатами действий над ними, но вы­полненных по правилам, сформулированным для положительных рациональных чисел. Нетрудно убедиться в том, что и это условие выполняется.


Пусть а и b - натуральные числа, Множество положительных рациональных чисел как расширение множества натуральных чисел - их сумма, полученная по правилам сложения в N. Вычислим сумму чисел а и b по правилу сложения в Q+. Так как Множество положительных рациональных чисел как расширение множества натуральных чисел, Множество положительных рациональных чисел как расширение множества натуральных чисел, то Множество положительных рациональных чисел как расширение множества натуральных чисел.


Убедиться в том, что второе условие выполняется и для других операций, можно аналогично или подсмотреть тут http://www.zaochnik.com/kontrol.html .


Третье условие, которое должно быть выполнено при расшире­нии множества натуральных чисел - это выполнимость в Q+ операции, не всегда осуществимой в N. И это условие соблюдено: деление, которое не всегда выполняется в множестве N, в множестве Q+ вы­полняется всегда.


Сделаем еще несколько дополнений, раскрывающих взаимосвязи между натуральными и положительными рациональными числами.


1. Черту в записи дроби Множество положительных рациональных чисел как расширение множества натуральных чисел можно рассматривать как знак деления.


Действительно, возьмем два натуральных числа т и п и найдем их частное по правилу (4) деления положительных рациональных чисел:


Множество положительных рациональных чисел как расширение множества натуральных чисел


Обратно, если дана дробь Множество положительных рациональных чисел как расширение множества натуральных чисел, то ее можно рассматривать как частное натуральных чисел т и п: Множество положительных рациональных чисел как расширение множества натуральных чисел.


2. Любую неправильную дробь можно представить либо в виде натурального числа, либо в виде смешанной дроби.


Пусть Множество положительных рациональных чисел как расширение множества натуральных чисел - неправильная дробь. Тогда т > п. Если т кратно п, то в этом случае дробь Множество положительных рациональных чисел как расширение множества натуральных чисел является записью натурального числа. Если число т не кратно п, то разделим т на п с остатком: Множество положительных рациональных чисел как расширение множества натуральных чисел, где Множество положительных рациональных чисел как расширение множества натуральных чисел. Подставим Множество положительных рациональных чисел как расширение множества натуральных чисел вместо т в запись Множество положительных рациональных чисел как расширение множества натуральных чисел и применим правило (1) сложения положительных рациональных чисел:


Множество положительных рациональных чисел как расширение множества натуральных чисел.


Так как Множество положительных рациональных чисел как расширение множества натуральных чисел, то дробь Множество положительных рациональных чисел как расширение множества натуральных чисел - правильная. Следовательно, неправильная дробь Множество положительных рациональных чисел как расширение множества натуральных чисел оказалась представленной в виде суммы натурального числа q и правильной дроби Множество положительных рациональных чисел как расширение множества натуральных чисел. Это действие называется выделением целой части из неправильной дроби. Например, Множество положительных рациональных чисел как расширение множества натуральных чисел.


Сумму натурального числа и правильной дроби принято записывать без знака сложения: т.е. вместо Множество положительных рациональных чисел как расширение множества натуральных чисел пишут Множество положительных рациональных чисел как расширение множества натуральных чисел и называют та­кую запись смешанной дробью.


Справедливо также утверждение: всякую смешанную дробь можно записать в виде неправильной дроби. Например:


Множество положительных рациональных чисел как расширение множества натуральных чисел.





Просмотров 7073 Комментариев 0
Познавательно:
Скажи свое мнение:
Добавить комментарий
Имя:* E-Mail:*

Вопрос:
1+1=
Ответ:*
Введите два слова, показанных на изображении: *