Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе


Сложением натуральных чисел называется алгебраическая операция, обладающая следующими свойствами:


1) Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе; Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе;


2)Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе.


Будем считать, что 0 + 0 = 0.


Число а + b называется суммой чисел а и b, а сами числа слагаемыми.


Теорема. Сложение натуральных чисел существует и оно единственно.


Докажем единственность сложения натуральных чисел.


Доказательство. Допустим, что в множестве N существуют две операции сложения, обладающие свойствами 1 и 2. Одну из них обозначим знаком +, а другую – знаком Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе. Для этих операций имеем:


1)  а + 1 = аСложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе;                              1) а Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе 1 = аСложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе;


2)  а + b = (а + b)Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе                     2) a Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе bСложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе =  (a Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе b)Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе.


Докажем, что Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе  (1)


Пусть число а выбрано произвольно, а b принимает различные натуральные значения. Обозначим через М множество всех тех и только тех чисел b, для которых равенство (1) истинно.


Нетрудно убедиться в том, что 1Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходеМ. Действительно, из того, что           а + 1 = аСложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе= а  Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе 1, следует, что а + 1 = а  Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе 1.


Докажем теперь, что если bСложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходеM, то bСложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходеСложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходеM, т.е. если а + b = а Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходеb, то        а + bСложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе = a Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе bСложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе. Так как а + b = а Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходеb, то по аксиоме 2  (а + b)Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе = (а Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходеb)Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе, и тогда а + bСложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе= (а + b)Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе = (а Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходеb)Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе= a Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе bСложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе. Поскольку множество М содержит 1 и вместе с каждым числом b содержит и число bСложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе, то по аксиоме 4 множество М совпадает с N, а значит равенство (1) истинно для любого натурального числа b. Так как число а было выбрано произвольно, то равенство (1) верно при любых натуральных а и b, т.е. операции + и Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе на множестве N могут отличаться друг от друга только обозначениями.


Докажем существование сложения натуральных чисел.


Доказательство. Покажем, что алгебраическая операция, обладающая свойствами 1 и 2, указанными в определении, существует.


Пусть М – множество тех и только тех чисел а, для которых можно определить а + b так, чтобы выполнялись условия 1 и 2.


Покажем, что 1Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходеМ. Для этого при любом b предположим 1 + b = bСложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе (2). Тогда:


1) 1 + 1 = 1Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе -  по правилу (2), т.е. выполняется равенство а + 1 = аСложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе при а = 1.


2) 1 + bСложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе = (bСложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе)Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе = (1 + b)Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе - по правилу (2), т.е. выполняется равенство а + bСложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе = (а + b)Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе при а = 1.


Итак, 1 принадлежит множеству М.


Предположим, что а принадлежит М. Исходя из этого предположения, покажем, что и  аСложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе содержится в М, т.е. что можно определить сложение аСложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе и любого числа b так, чтобы выполнялись условия 1 и 2. Для этого положим:


аСложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе + b = (а + b)Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе.


Так как по предположению число а + b определено, то по аксиоме 2 единственным образом определяется и число  (а + b)Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе. Проверим, что при этом выполняются условия 1 и 2:


1) аСложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе+ 1 = (а + 1)Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе = (аСложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе)Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе.


2) аСложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе + bСложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе = (а + bСложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе)Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе = ((а + b)Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе)Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе = (аСложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе + b).Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе


Итак, показали, что множество М содержит 1 и вместе с каждым число а содержит и число аСложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе. По аксиоме 4 заключаем, что множество М есть множество натуральных чисел.


Таким образом, существует правило, которое позволяет для любых натуральных  чисел а и b однозначно найти такое натуральное число а + b, что выполняются свойства 1 и 2, сформулированные в определении сложения.


Теорема.   Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе


Доказательство. Пусть а – натуральное число, выбранное произвольно, а b принимает различные значения. Обозначим через М множество тех и только тех натуральных чисел b, для которых данное утверждение истинно. Тогда 1 содержится в М, т.к. а + 1 = аСложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе                       (по определению сложения), а 1 не следует ни за каким числом (аксиома 1), то    а + 1 Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе1.


Если число b принадлежит М, т.е. а + b Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе b, то и bСложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходепринадлежит М, т.е. а + bСложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходеСложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе bСложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе. Действительно, по определению сложения  а + bСложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе = (а + b)Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе, но поскольку а + b Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе b, то   + b)Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходеСложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе bСложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе. Значит, а + bСложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходеСложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе bСложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе.


По аксиоме 4 множества М и N совпадают, следовательно, для любых натуральных чисел а и b верно утверждение а + b Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе b


Покажем, как из определения сложения и его существования и единственности можно вывести таблицу сложения однозначных чисел.


Условимся о следующих обозначениях:


1Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе = 2,   2Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе= 3,   3Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе = 4,   4Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе = 5 и т.д.


Составим таблицу в следующей последовательности: сначала к любому однозначному числу прибавляем единицу, затем – число два, потом – три и т.д.


1 + 1 = 1Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе на основании свойства 1 определения сложения. Но 1Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе= 2, следовательно, 1 + 1 = 2.


Аналогично   2 + 1 = 2Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе= 3;     3 + 1 =  3Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе= 4 и т.д.


Рассмотрим теперь случаи, связанные с прибавлением к любому однозначному натуральному числу числа 2.


1 + 2 = 1 + 1Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе= (1 + 1)Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе= 2Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе= 3.


Аналогично 2 + 2 = 2 + 1Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе =( 2 + 1)Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе= 3Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе = 4;     3 + 2 = 3 + 1Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе =( 3 + 1)Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе=  4Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе = 5  и т.д.


Если продолжить этот процесс, то получим всю таблицу сложения однозначных чисел.


Найдем с помощью аксиоматического подхода к построению теории натуральных чисел сумму 6 + 3.


Решение. Такой подход является основой начального обучения математике. Получение чисел путем прибавления 1 тесно связано с принципом построения натурального ряда, а второе свойство сложения используется при вычислениях: 6 + 3 =  6 +  2Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе= (6 +  2)Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе= (6 + 1Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе)Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе= ((6 + 1)Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе)Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе= (6Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе)Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе)Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе= (7Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе)Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе= 8Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе= 9.


На языке начального курса математики это выглядит так:  6 + 3 = (6 + 2) + 1 = ((6 + 1) + 1) + 1 = (7 + 1) + 1 = 8 + 1 = 9.


Сложение обладает свойствами ассоциативности ((a + b) + c = a + (b + c)) и коммутативности (a + b = b + a).


Доказать, что для любых чисел a и b выполняется равенство (a + b) + c = a + (b + c).


Доказательство. Пусть натуральные числа а и b выбраны произвольно, а с принимает различные натуральные значения. Обозначим через М множество всех тех чисел с, для которых равенство (a + b) + c = a + (b + c).


Докажем сначала, что 1 содержится в М, т.е. убедимся в справедливости равенства (а + b) + 1 = a + (b + 1). Действительно, по определению сложения (a + b) + c = (a + b)Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе= a + bСложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе= a + (b + 1).


Докажем теперь, что если сСложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе М, то и сСложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходеСложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе М,  т.е. из равенства (a + b) + c = a + (b + c) следует равенство (a + b) + cСложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе = a + (b + cСложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе). Действительно, по определению сложения, имеем: (a + b) + cСложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе =((a + b) + c)Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе =  (a + (b + c))Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе = a + (b + c)Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе= a + (b + cСложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе).


Таким образом, мы показали, что множество М содержит 1, и из того, что с содержится в М, следует, что и сСложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходеСложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе М. Следовательно, согласно аксиоме Пеано 4, М = N, т.е. равенство (a + b) + c = a + (b + c) истинно для любого натурального числа с. А поскольку числа а и b выбирались произвольно, то истинно и для любых натуральных чисел а и b, что и требовалось доказать.


Аналогично, можно доказать и коммутативность сложения.


Доказательство. Состоит из двух частей: сначала доказывают, что  Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходеа +1 = 1 + а, затем, что  Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе.


Рассмотрим первую часть. Пусть М – множеством всех тех и только тех чисел а, для которых а +1 = 1 + а истинно.


Так как 1 + 1 = 1 + 1 – истинное равенство, то 1 принадлежит множеству М.


Докажем теперь, что если аСложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходеМ, то аСложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходеСложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходеМ, т.е. из равенства а +1 = 1 + а следует равенство  аСложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе+1 = 1 + аСложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе. Действительно,  аСложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе+1 = (а + 1) + 1 по первому свойству сложения. Далее (а + 1) + 1 = (1 + а) + 1. На основе ассоциативного закона получаем 1 + (а + 1). И наконец, по определению сложения, получаем:  1 + (а + 1) = 1 + аСложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе.


Таким образом, мы показали, что множество М содержит 1 и вместе с каждым числом а содержит число  аСложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе.Следовательно, согласно аксиоме 4, М = N, т.е. равенство  а +1 = 1 + а истинно для любого натурального а.


Докажем, что Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе a + b = b + a. Пусть а – произвольно выбранное натуральное число, а b принимает различные натуральные значения. Обозначим через М множество всех тех и только тех натуральных чисел b, для которых равенство a + b = b + a истинно.


Так при b = 1 получаем равенство а +1 = 1 + а, истинность которого доказана выше, значит 1 содержится в М.


Докажем теперь, что если b принадлежит М, то и bСложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе также принадлежат М, т.е. из равенства a + b = b + a следует равенство а + bСложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе= bСложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе+ а


Действительно, по определению сложения, имеем: а + bСложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе= (а + b)Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе. Так как a + b = b + a, то + b)Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе = (b + а)Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе. Отсюда, по определению сложения, имеем (b + а)Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе = b + аСложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе = b + (а + 1) = b + (1 + а). Применив ассоциативное свойство и определение сложения, выполняем преобразования: b + (1 + а) = (b + 1) + а = bСложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе+ а


Итак, мы показали, что 1 содержится в множестве М и вместе с каждым числом b множество содержит и число bСложение целых неотрицательных чисел в аксиоматическом подходе, непосредственно следующее за   b. по аксиоме 4 получаем, что М = N, т.е. равенство a + b = b + a истинно для любого натурального числа b, а также для любого натурального числа а, поскольку его выбор был произвольным.


Выполним преобразование выражения, применив свойства сложения: а) 8091 + (2809 + 409);   б) 386 + 187 + 1213 + 1564;   в) (8073 + 2329) + 1671.


Решение. а)  8091 + (2809 + 409) = [применим ассоциативность и переставим скобки] = (8091 + 2809) + 409 = 10900 + 409 = 11309;


б) 386 + 187 + 1213 + 1564 = [применим коммутативность, что позволит поменять числа местами]  = 386 + 1564 +187 + 1213 = [применим ассоциативность, что позволит расставить скобки в нужном месте] = (386 + 1564) + (187 + 1213) = 1950 + 1400 = 3350;


в) (8073 + 2329) + 1671 = [применим ассоциативность и опустим скобки] = 8073 + 2329 + 1671 = [применим снова ассоциативность и поставим скобки в нужном нам месте] = 8073 + (2329 + 1671) = 8073 + 4000 = 12073.





Просмотров 9945 Комментариев 0
Познавательно:
Скажи свое мнение:
Добавить комментарий
Имя:* E-Mail:*

Вопрос:
1+1=
Ответ:*
Введите два слова, показанных на изображении: *