Положительные рациональные числа

Отношение равенства является отношением эквивалентности на множестве дробей, поэтому оно порождает на нём классы эквивалентности. В каждом таком классе содержатся равное между собой дроби. Например, множество дробей {Положительные рациональные числа, Положительные рациональные числа, Положительные рациональные числа, Положительные рациональные числа, …} – это один класс, множество дробей {Положительные рациональные числа, Положительные рациональные числа, Положительные рациональные числа, Положительные рациональные числа, …} – это другой класс и т.д.


Дроби одного класса выражают длину одного и того же отрезка. Но длина отрезка должна представляться единственным числом. Поэтому считают, что равные дроби – это различные записи одного и того же положительного рационального числа.


Положительным рациональным числом называется класс дробей, а каждая дробь, принадлежащая этому классу, есть запись (представление) этого числа.


Например, о дроби Положительные рациональные числа мы должны говорить, что она является записью некоторого рационального числа. Однако часто для краткости говорят: Положительные рациональные числа – это рациональное число.


Множество всех положительных рациональных чисел принято обозначать символом Q+. Определим на это множество отношение равенства.


Если положительное рациональное число a представить дробью Положительные рациональные числа, а положительное рациональное число b – другой дробью Положительные рациональные числа, то a = b тогда и только тогда, когда   mq=np.


Из данного определения следует, что равные рациональные числа представляются равными дробями. Среди всех записей любого положительного рационального числа выделяют дробь, которая является несократимой, и доказывают, что любое рациональное число представимо единственным образом несократимой дробью (мы это доказательство опускаем). Для того чтобы рациональное число Положительные рациональные числа представить несократимой дробью, достаточно числитель m и знаменатель n разделить на их наибольший общий делитель.


Выяснить теперь, как определяются арифметические действия с положительными рациональными числами.


Пусть при некотором единственном отрезке e длина отрезка x выражается дробью Положительные рациональные числа, а длина отрезка у – дробью Положительные рациональные числа, и пусть отрезок z состоит из отрезков x и y. Такая n-ая часть отрезка e укладывается в отрезок z m+p раз, т.е. длина отрезка z выражается дробью Положительные рациональные числа. Поэтому полагают, что  Положительные рациональные числа.


Если положительное рациональное число a представить дробью Положительные рациональные числа, а положительное рациональное число b – дробью Положительные рациональные числа, то их суммой называется число a+b, которое представляется дробью Положительные рациональные числа.


Таким образом по определению


Положительные рациональные числа.                                                          (1)


Можно доказать, что при замене дробей Положительные рациональные числа и Положительные рациональные числа, представляющих числа а и b, равными им дробями, дробь Положительные рациональные числа заменяется равной ей дробью. Поэтому сумма рациональных чисел не зависит от выбора представляющих их дробей.


В определении суммы рациональных чисел мы использовали их представления в виде дробей с одинаковыми знаменателями. Если же числа а и b представлены дробями с различными знаменателями, то сначала надо привести их к одному знаменателю, а затем применить правило (1).


Сложение положительных рациональных чисел коммутативно и ассоциативно,


(Положительные рациональные числа Q+a + b = b + a;


(Положительные рациональные числа Q+(a + b) + c = a + (b + c).


Докажем, например, коммутативность сложения. Представим числа а и b дробями Положительные рациональные числа и Положительные рациональные числа. Тогда сумма a+b представляется дробью Положительные рациональные числа, а сумма b+a –  дробью Положительные рациональные числа. Так как m, p, n – натуральные числа, то m+p = p+m и, следовательно, a+b = b+a. Таким образом, коммутативность сложения положительных рациональных чисел вытекает из коммутативности сложения натуральных чисел.


Если положительное числа а представлено дробью Положительные рациональные числа, а положительное рациональное число b – дробью Положительные рациональные числа , то их произведением называется число  ab, которое представляет дробью Положительные рациональные числа.


Таким образом, по определению,


Положительные рациональные числа.                                                                             (2)


Можно доказать, что при замене дробей  Положительные рациональные числа и  Положительные рациональные числа , представляющих числа a и  b, равными им дробями, дробь Положительные рациональные числа   заменяется равной ей дробью. Поэтому произведение чисел a и b не зависит от выбора представляющих их дробей.


Умножение положительных рациональных чисел коммутативно, ассоциативно и дистрибутивно относительно сложения и вычитания. Доказательство этих свойств основывается на определении умножения и сложения положительных рациональных чисел, а также на соот­ветствующих свойствах сложения и умножения натуральных чисел.


Определение сложения положительных рациональных чисел дает возможность определить отношение «меньше» на множестве Q+.


 Пусть a и b - положительные рациональные числа. Считают, что число b меньше числа а, если существует такое положительное рациональное число с, что а =b + с.


В этом же случае считают, что число а больше числа b. Пишут b < a,


 a >b.


Так определенное отношение «меньше» обладает рядом свойств, которые мы приводим без доказательства.


1. Отношение «меньше» на множестве Q+ антисимметрично и транзитивно, т.е. является отношением порядка, а множество Q+ упорядо­ченным множеством.


2. Если рациональные числа a и b представлены дробями  Положительные рациональные числа и Положительные рациональные числа (т.е. дробями, имеющими одинаковые знаменатели), то a <b в том и только в том случае, когда m < p.


3. Если рациональные числа a и b представлены дробями  Положительные рациональные числа и  Положительные рациональные числа (т.е. дробями, имеющими разные знаменатели), то a < b в том и толь­ко в том случае, когда mq < пр.


4. Во множестве положительных рациональных чисел нет наимень­шего числа.


5. Между любыми двумя различными числами а и b из Q+ заклю­чено бесконечно много чисел этого же множества. Это свойство назы­вают свойством плотности множества Q+.


6. Во множестве положительных рациональных чисел нет наиболь­шего числа.


Вычитание положительных рациональных чисел определяется как операция, обратная сложению, т.е. это такая операция, которая удов­летворяет условию: a – b = c тогда и только тогда, когда a = b + c.


Разность а - b положительных рациональных чисел существует тог­да и только тогда, когда b < а. Если разность а - b существует, то она единственна.


Используя определение и условие существования разности, можно получить правило вычитания положительных рациональных чисел, представленных дробями  Положительные рациональные числа  и  Положительные рациональные числа ,  где    т < р:


      Положительные рациональные числа                                                      (3)


Деление положительных рациональных чисел определяется как операция, обратная умножению, т.е. это такая операция, которая удовле­творяет условию: Положительные рациональные числа тогда и только тогда, когда Положительные рациональные числа.


Из этого определения и правила нахождения произведения положи­тельных рациональных чисел можно получить правило деления положительных рациональных чисел, представленных дробями Положительные рациональные числа и Положительные рациональные числа:


Положительные рациональные числа.                  (4)


Из этого правила следует, что частное положительных рациональ­ных чисел всегда существует.



Просмотров 5888 Комментариев 0
Новости:
Познавательно:
Скажи свое мнение:
→ Информация ←
Посетители, находящиеся в группе Гости, не могут оставлять комментарии к данной публикации.