Теоретико-множественный смысл суммы


Сложение целых неотрицательных чисел связано с объединением конечных непересекающихся множеств. Если a = n(A), b = n(B) и AТеоретико-множественный смысл суммыB = Теоретико-множественный смысл суммы, то суммой целых неотрицательных чисел а и b называется число элементов в объединении множеств А и В, т.е. a + b = n(A) + n(B) = n(AТеоретико-множественный смысл суммыB).


Докажем сначала, что если a и b - натуральные числа, то существует взаимно однозначное отображение отрезка натурального ряда NТеоретико-множественный смысл суммы на множество Х таких чисел, что а + 1Теоретико-множественный смысл суммы х Теоретико-множественный смысл суммы a + b. Действительно, если поставить в соответствие числу сТеоретико-множественный смысл суммы NТеоретико-множественный смысл суммы число с + а, то в силу монотонности сложения этим будет задано взаимно однозначное отображение отрезка NТеоретико-множественный смысл суммы на множество Х. Например, если а = 3, b = 5, то соответствие между множествами NТеоретико-множественный смысл суммы и Х = {4,5,6,7,8} может быть установлено так: числу с сопоставим х = с + 3, т.е. числу 1 – число 3 + 1 = 4, числу 2 = число 3 + 2 = 5 и т.д.


Пусть a = n(A), b = n(B). Тогда существует взаимно однозначные отображения А на NТеоретико-множественный смысл суммы и В на NТеоретико-множественный смысл суммы. Но, согласно доказанному выше, отрезок NТеоретико-множественный смысл суммы можно взаимно однозначно отобразить на множество Х таких чисел, что а + 1Теоретико-множественный смысл суммы х Теоретико-множественный смысл суммы a + b. Тем самым множество В взаимно однозначно отображается на Х. Отображая взаимно однозначно А на NТеоретико-множественный смысл суммы и В на Х, получаем взаимно однозначное отображение множества AТеоретико-множественный смысл суммыB  на отрезок NТеоретико-множественный смысл суммы. Поскольку нет элементов, одновременно принадлежащих А и В, то это отображение определено на всем множестве AТеоретико-множественный смысл суммыB. Значит, в множестве AТеоретико-множественный смысл суммыB имеется a + b элементов, что и требовалось доказать.


Действие, при помощи которого находят сумму, называют сложением, а числа, которые складывают, называют слагаемыми.


Используя определение суммы целых неотрицательных чисел, покажем, что 2 + 4 = 6.


Возьмем множество А, содержащее 2 элемента и множество В, содержащее 4 элемента, такие, что n(A) = 2, n(B) = 4,  AТеоретико-множественный смысл суммыB= Теоретико-множественный смысл суммы. Например, А = {a, b}, B = {k, l, m, h}. Найдем объединение множеств А и В: АТеоретико-множественный смысл суммыВ = {a, b, k, l, m, h}. Полученное множество содержит 6 элементов, т.е. n(АТеоретико-множественный смысл суммыВ)=6. Согласно определению сложения, 2 + 4 = 6.


Выясним теоретико-множественный смысл равенства а + 0 = а. Если a=n(A), 0= n(Теоретико-множественный смысл суммы), то а + 0 = n(A)+ n(Теоретико-множественный смысл суммы)=n(AТеоретико-множественный смысл суммыТеоретико-множественный смысл суммы)=n(A)=  а.


Сложение обладает коммутативностью и ассоциативностью (переместительный и сочетательный законы).


Покажем коммутативность. Для любых множеств А и В выполняется равенство АТеоретико-множественный смысл суммыВ = ВТеоретико-множественный смысл суммыА. Т.к. a = n(A), b = n(B) и AТеоретико-множественный смысл суммыB = Теоретико-множественный смысл суммы, то а + b = n(A) + n(B) = n(АТеоретико-множественный смысл суммыВ) = n(ВТеоретико-множественный смысл суммыА) = n(B) + n(A) = a + b.


Аналогично можно показать ассоциативность сложения, которая вытекает из равенства (AТеоретико-множественный смысл суммыB)Теоретико-множественный смысл суммыC = AТеоретико-множественный смысл суммы(BТеоретико-множественный смысл суммыC).


Действительно, a=n(A), b = n(B),c = n(C)  и  AТеоретико-множественный смысл суммыB= Теоретико-множественный смысл суммы,  BТеоретико-множественный смысл суммыC = Теоретико-множественный смысл суммы,  AТеоретико-множественный смысл суммыC = Теоретико-множественный смысл суммы, то (a + b) + c = n((AТеоретико-множественный смысл суммыB)Теоретико-множественный смысл суммыC) = n( AТеоретико-множественный смысл суммы(BТеоретико-множественный смысл суммыC)) = a + (b + c).


Взаимосвязь сложения целых неотрицательных чисел и объединения множеств позволяет обосновать выбор действий при решении текстовых задач определенного вида. Например, выясним, почему следующая задача решается при помощи сложения: Катя нашла 5 грибов, Даша нашла 3 гриба. Сколько грибов нашли девочки?


В задаче рассматриваются три множества: множество А грибов Кати, множество В – грибов Даши и их объединение. Требуется узнать число элементов в этом объединении, а оно находится сложением.  Пусть n(A)=5, n(B)=3, AТеоретико-множественный смысл суммыB= Теоретико-множественный смысл суммы. А={a, s, d, f, g}, B={z, x, c}. Тогда АТеоретико-множественный смысл суммыВ= {a, s, d, f, g, z, x, c}, и n(АТеоретико-множественный смысл суммыВ)=8. Согласно определению суммы в теоретико-множественном подходе, 5 + 3 = 8. Значит, девочки нашли 8 грибов.


Дадим теоретико-множественное истолкование суммы нескольких слагаемых, и, используя полученный вывод, найдем сумму  3 + 4 + 2 + 9.


Пусть сумма двух слагаемых определена и определена сумма k слагаемых. Тогда сумма, состоящая из k+1 слагаемого, т.е. Теоретико-множественный смысл суммы равна Теоретико-множественный смысл суммы.


Значит, чтобы найти сумму 3 + 4 + 2 + 9, согласно этому определению, надо выполнить следующие преобразования: 3 + 4 + 2 + 9 = (3 + 4 + 2) + 9 = ((3 + 4) + 2) + 9 = (7 +2) + 9 = 9 +9 = 18.


 Найдем значение выражения и объясните, какие законы сложения были при этом использованы: (16 + 9) + 21 + 14.


Решение. Используем ассоциативность, что позволяет нам опустить скобки: 16 + 9 + 21 + 14. Используя коммутативность, получим 16 + 14 + 9 + + 21. Используя снова ассоциативность, расставим скобки в нужном нам месте:  (16 + 14) + (9 +21). Вычислим значения в скобках: 30 + 30. В итоге получим 60. Значит значение выражения (16 + 9) + 21 + 14 равно 60.





Просмотров 14760 Комментариев 0
Познавательно:
Скажи свое мнение:
Добавить комментарий
Имя:* E-Mail:*

Вопрос:
1+1=
Ответ:*
Введите два слова, показанных на изображении: *