Понятие дроби


Пусть требуется измерить длину отрезка x с помощью единичного отрезка e (рис.27). При измерении оказалось, что отрезок x состоит из трех отрезков, равных e, и отрезка, который короче отрезка e. В этом случае длина отрезка x не может быть выражена натуральным числом.


Рисунок: Рис. 27Понятие дроби


Однако если отрезок e разбить на 4 равные части, то отрезок x окажется состоящим из 14 отрезков, равных четвертой части отрезка e. И тогда, говоря о длине отрезка x, мы должны указать два числа 4 и 14: четвертая часть отрезка e укладывается в отрезке точно 14 раз. Поэтому условились длину отрезка x записывать в виде Понятие дроби, где E – длина единичного отрезка e, а символ Понятие дроби называть дробью.


В общем виде понятие дроби определяют так.


Пусть даны отрезок x и единичный отрезок e, длина которого E. Если отрезок x
состоит из
m отрезков, равных n-ой части отрезка e, то длина отрезка x может быть представлена в виде Понятие дроби, где символ Понятие дроби называют дробью (и читают “эм энных”).


В записи дроби Понятие дроби числа m и n – натуральные, m называется числителем, nзнаменателем дроби.


Дробь Понятие дроби называется правильной, если ее числитель меньше знаменателя, и неправильной, если ее числитель больше знаменателя или равен ему.


Ранее показано, что четвертая часть отрезка e уложилась в отрезке x точно 14 раз. Очевидно, это не единственный вариант выбора такой части отрезка e, которая укладывается в отрезок x целое число раз. Можно взять восьмую часть отрезка e, тогда отрезок x будет состоять из 28 таких частей и его длина будет выражаться дробью Понятие дроби. Можно взять шестнадцатую часть отрезка
e, тогда отрезок x будет состоять из 56 таких частей и его длина будет выражаться дробью Понятие дроби.


Вообще длина одного и того же отрезка x при заданном единичном отрезке e может выражаться различными дробями, причем, если длина выражена дробью Понятие дроби, то она может быть выражена и любой дробью вида Понятие дроби, где k
– натуральное число.


Теорема. Для того чтобы дроби Понятие дроби и Понятие дроби выражали длину одного и того же отрезка, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство Понятие дроби.


Доказательство этой теоремы мы опускаем.


Две дроби Понятие дроби и Понятие дроби называются равными, если Понятие дроби.


Если дроби равны, то пишут Понятие дроби.


Например, Понятие дроби, так как Понятие дроби, а Понятие дроби, потому что Понятие дроби, а Понятие дробии Понятие дроби.


Из сформулированных выше теоремы и определения следует, что две дроби равны тогда и только тогда, когда они выражают длину одного и того же отрезка.


Нам известно, что отношение равенства дробей рефлексивно, симметрично и транзитивно, т.е. является отношением эквивалентности.


Из определения равных дробей вытекает основное свойство дроби. Напомним его.


Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, то получится дробь, равная данной.


На этом свойстве основано сокращение дробей и приведение дробей к общему знаменателю.


Сокращение дробей – это замена данной дроби другой, равной данной, но с меньшим числителем и знаменателем.


Если числитель и знаменатель дроби одновременно делятся только на единицу, то дробь называют несократимой. Например, Понятие дроби – несократимая дробь, так как её числитель и знаменатель делятся одновременно только на единицу, т.е D(5, 17) = 1.


Приведение дробей к общему знаменателю – это замена данных дробей равными им дробями, имеющими одинаковые знаменатели. Общим знаменателем двух дробей Понятие дроби и Понятие дроби является общее кратное чисел Понятие дроби и Понятие дроби, а наименьшим общим знаменателем – их наименьшее кратное K(n, q).


 Приведем к наименьшему общему знаменателю дроби Понятие дроби и Понятие дроби.


Решение. Разложим числа 15 и 35 на простые множители: Понятие дроби, Понятие дроби. Тогда Понятие дроби. Поскольку Понятие дроби, то Понятие дроби, Понятие дроби.





Просмотров 11738 Комментариев 0
Познавательно:
Скажи свое мнение:
Добавить комментарий
Имя:* E-Mail:*

Вопрос:
1+1=
Ответ:*
Введите два слова, показанных на изображении: *