Об аксиоматическом способе построения теории. Определение натурального числа


При аксиоматическом построении какой-либо математической теории соблюдаются определенные правила:


· некоторые понятия теории выбираются в качестве основных и принимаются без определения;


·        каждому понятию теории, которое не содержится в списке основных, дается определение;


·        формулируются аксиомы – предложения, которые в данной теории принимаются без доказательства; в них раскрываются свойства основных понятий;


·        каждое предложение теории, которое не содержится в списке аксиом, должно быть доказано; такие предложения называют теоремами и доказывают их на основе аксиом и терем.


При аксиоматическом построении теории все утверждения выводятся из аксиом путем доказательства.


Поэтому к системе аксиом предъявляются особые требования:


·        непротиворечивость (система аксиом называется непротиворечивой, если из нее нельзя логически вывести два взаимно исключающих друг друга предложения);


·        независимость (система аксиом называется независимой, если никакая из аксиом этой системы не является следствием других аксиом).


Множество, с заданным в нем отношением называется моделью данной системы аксиом, если в нем выполняются все аксиомы данной системы.


         Построить систему аксиом для множества натуральных чисел можно многими способами. За основное понятие можно принять, например, сумму чисел или отношение порядка. В любом случае нужно задать систему аксиом, описывающие свойства основных понятий.


         Дадим систему аксиом, приняв основное понятие операцию сложения.


         Непустое множество N назовем множеством натуральных чисел, если в нем определена операция (a; b) → a + b, называемая сложением и обладающая свойствами:


1. сложение коммутативно, т.е. a + b = b + a.


2. сложение ассоциативно, т.е. (a + b) + c = a + (b + c).


3. для Об аксиоматическом способе построения теории. Определение натурального числа,


4. в любом множестве А, являющемся подмножеством множества N, где А Об аксиоматическом способе построения теории. Определение натурального числаесть число а такое, что все хОб аксиоматическом способе построения теории. Определение натурального числаА, равны a + b, где bОб аксиоматическом способе построения теории. Определение натурального числаN.


Аксиом 1 – 4 достаточно, чтобы построить всю арифметику натуральных чисел. Но при таком построении уже нельзя опираться на свойства конечных множеств, не нашедших отражение в этих аксиомах.


Возьмем в качестве основного понятия отношение «непосредственно следовать за…», заданное на непустом множестве N. Тогда натуральным рядом чисел будет являться множество N, в котором определено отношение «непосредственно следовать за», а натуральными числами будут называться все элементы N, причем имеют место следующие аксиомы Пеано:


АКСИОМА 1.


Во множестве N существует элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества. Будем называть его единицей, и обозначать символом 1.


АКСИОМА 2.


Для каждого элемента а из N существует единственный элемент аОб аксиоматическом способе построения теории. Определение натурального числа, непосредственно следующий за а.


АКСИОМА 3.


 Для каждого элемента а из N существует не более одного элемента, за которым непосредственно следует а.


АКСОИМА 4.


Всякое подмножество М множества N совпадает с N, если обладает свойствами: 1) 1 содержится в М; 2) из того, что а содержится в М, следует, что и аОб аксиоматическом способе построения теории. Определение натурального числа содержится в М.


Множество N, для элементов которого установлено отношение «непосредственно следовать за…», удовлетворяющее аксиомам 1 – 4, называется множеством натуральных чисел, а его элементы – натуральные числами.


Если в качестве множества N выбрать некоторое конкретное множество, на котором задано конкретное отношение «непосредственно следовать за…», удовлетворяющее аксиомам 1 – 4, то получим различные интерпретации (модели) данной системы аксиом.


Стандартной моделью системы аксиом Пеано является возникший в процессе исторического развития общества ряд чисел: 1, 2, 3, 4, 5, …


Моделью аксиом Пеано может быть любое счетное множество.


Например,    I,      II,      III,      IIII, …


                    о     оо      ооо     оооо, …


                  один     два      три     четыре, …


Рассмотрим последовательность множеств, в которой множество {оо} есть начальный элемент, а каждое последующее множество получается из предыдущего приписыванием еще одного кружка (рис.15).


Об аксиоматическом способе построения теории. Определение натурального числаТогда N есть множество, состоящее из множеств описанного вида, и оно является моделью системы аксиом Пеано.


Действительно, во множестве существует элемент {oo}, непосредственно не следующий ни за каким элементом данного множества, т.е. выполняется аксиома 1. Для каждого множества А рассматриваемой совокупности существует единственное множество, которое получается из А добавлением одного кружка, т.е. выполняется аксиома 2. Для каждого множества А существует не более одного множества, из которого образуется множество А добавлением одного  кружка, т.е. выполняется аксиома 3. Если МОб аксиоматическом способе построения теории. Определение натурального числаN и известно, что множество А содержится в М, следует, что и множество, в котором на один кружок больше, чем в множестве А, также содержится в М, то М = N, и значит выполняется аксиома 4.


В определении натурального числа ни одну из аксиом опустить нельзя.


Установим, какие из множеств, приведенных на рис. 16, являются моделью аксиом Пеано.


 

















  1                        а                         b           d                       a


                                                                                  …


                                      a                                                                                               …


                                                                                                              c           e


                 b                                                                       …


                                                       c           e                           b


             a)                                            б)                                         в)                     


                                                   …


     5             6          7             8                


                           г)                                                                                             Рис.16


 
Об аксиоматическом способе построения теории. Определение натурального числа


Решение. На рисунке 16 а) изображено множество, в котором выполняются аксиомы 2 и 3. Действительно, для каждого элемента существует единственный, непосредственно следующий за ним, и существует единственный элемент, за которым он следует. Но в этом множестве не выполняется аксиома 1 (аксиома 4 не имеет смысла, т.к. в множестве нет элемента, непосредственно не следующего ни за каким другим). Поэтому данное множество не является моделью аксиом Пеано.


На рисунке 16 б) показано множество, в котором выполнены аксиомы 1, 3 и 4, но за элементом а непосредственно следуют два элемента, а не один, как требуется в аксиоме 2. Поэтому данное множество не является моделью аксиом Пеано.


         На рис. 16 в) изображено множество, в котором выполнены аксиомы 1, 2, 4, но элемент с непосредственно следует сразу за двумя элементами. Поэтому данное множество не является моделью аксиом Пеано.


На рис. 16 г) изображено множество, удовлетворяющее аксиомам 2, 3, и, если в качестве начального элемента возьмем число 5, то данное множество будет удовлетворять аксиомам 1 и 4. Т.е., в данном множестве для каждого элемента существует единственный, непосредственно следующий за ним, и существует единственный элемент, за которым он следует. Существует и элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества, это 5, т.е. выполняется аксиома 1. Соответственно будет выполняться и аксиома 4. Поэтому данное множество  является моделью аксиом Пеано.


Используя аксиомы Пеано, можно доказывать ряд утверждений Например, докажем, что для всех натуральных чисел выполняется неравенство х Об аксиоматическом способе построения теории. Определение натурального числа хОб аксиоматическом способе построения теории. Определение натурального числа.


Доказательство. Обозначим через А множество натуральных чисел, для которых а Об аксиоматическом способе построения теории. Определение натурального числа аОб аксиоматическом способе построения теории. Определение натурального числа. Число 1 принадлежит А, поскольку оно не следует ни за каким числом из N, а значит, не следует само за собой: 1 Об аксиоматическом способе построения теории. Определение натурального числа 1Об аксиоматическом способе построения теории. Определение натурального числа. Пусть аОб аксиоматическом способе построения теории. Определение натурального числаА, тогда а Об аксиоматическом способе построения теории. Определение натурального числа аОб аксиоматическом способе построения теории. Определение натурального числа. Обозначим  аОб аксиоматическом способе построения теории. Определение натурального числа через b. В силу аксиомы 3,  аОб аксиоматическом способе построения теории. Определение натурального числаОб аксиоматическом способе построения теории. Определение натурального числа bОб аксиоматическом способе построения теории. Определение натурального числа, т.е. bОб аксиоматическом способе построения теории. Определение натурального числа bОб аксиоматическом способе построения теории. Определение натурального числаи bОб аксиоматическом способе построения теории. Определение натурального числаА.


Итак, множество А содержит 1 и вместе с каждым числом  А содержит     b = аОб аксиоматическом способе построения теории. Определение натурального числа. Значит, А = N. В силу определения А это означает, что для всех хОб аксиоматическом способе построения теории. Определение натурального числаА имеем неравенство х Об аксиоматическом способе построения теории. Определение натурального числа хОб аксиоматическом способе построения теории. Определение натурального числа.





Просмотров 9906 Комментариев 0
Познавательно:
Скажи свое мнение:
Добавить комментарий
Имя:* E-Mail:*

Вопрос:
1+1=
Ответ:*
Введите два слова, показанных на изображении: *