Деление в десятичной системе счисления. Алгоритм деления


Когда речь идет о технике деления чисел, то этот процесс рассмат­ривают как действие деления с остатком: разделить целое неотрица­тельное число а на натуральное число b - это значит найти такие це­лые неотрицательные числа q и r, что a = bq +rт, причем 0 < r < b.

Выясним сначала, как осуществляется деление на однозначное чис­ло. Если на однозначное число делят однозначное или двузначное (не превышающее 89), то используется таблица умножения однозначных чисел.

Например, частным чисел 56 и 8 будет число 7, так как 8·7=56. Если же надо разделить 52 на 8, то находят ближайшее к нему меньшее число, которое делится на 8 – это будет число 48, и , следовательно, неполным частным при делении 52 на 8 будет число 6. Чтобы найти остаток, надо из 52 вычесть 48: 52-48=4. Таким образом, 52=8·6+4, т.е. при делении 52 на 8 получается неполное частное 6 и остаток, равный 4.

Проиллюстрируем теоретические основы деления трехзначного числа 377 на однозначное число 4.

Разделить 377 на 4 - это значит найти такое неполное частное q и остаток r, что 377=4q+r, причем остаток r должен удовлетворять условию 0 ≤ r < b, а неполное частное q – условию 4q ≤ 377 < 4·(q+1).

Определим, сколько цифр будет содержаться в записи числа q. Однозначным число q быть не может, так как тогда произведение 4q может быть максимально равно 36 и, значит, не будут выполняться условия, сформулированные выше для r и q. Если число q двузначное, т.е. если 10
Чтобы найти цифру десятков частного, умножим последовательно делитель 4 на 20, 30, 40 и т.д. Поскольку 4·90=360, а 4·100=400, и 360<377<400, то неполное частное заключено между числами 90 и 100, т.е. q=90+q0. Но тогда должны выполняться неравенства:

4·(90+ q0)≤ 377 < 360+4·(90+q0+1), откуда

360+4q0 ≤ 377 < 360+4·( q0+1) и 4q0 ≤ 17 < 4·( q0+1).

Число q0 (цифра единиц частного), удовлетворяющее последнему неравенству, можно найти подбором, воспользовавшись таблицей умножения. Получаем, что q0=4 и, следовательно, неполное частное q=90+4=94. Остаток находится вычитанием: 377- 4·94=1.

Итак, при делении числа 377 на 4 получается неполное частное 94 и остаток 1: 377=4·94+1.

Аналогично выполняется деление многозначного числа на много­значное. Разделим, например, 4316 на 52. Выполнить это деление - зна­чит найти такие целые неотрицательные числа q и r, что 4316 = 52q + r, 0 £ r < 52, а неполное частное должно удовлетворять неравенству 52 q < 4316 < 52(q + 1).

Определим число цифр в частном q. Очевидно, частное заключено между числами 10 и 100 (т.е. q -двузначное число), так как 520 < 4316 < < 5200. Чтобы найти цифру десятков частного, умножим последова­тельно делитель 52 на 20, 30, 40, 50 и т.д. Поскольку 52 × 80 = 4160, а 52 × 90 = = 4680 и 4160 < 4316 < 4680, то неполное частное заключено между числами 80 и 90, т.е. q = 80 + q0. Но тогда должны выполняться неравенства:

52×(80 + q0) £ 4316 < 52×(80 + q0 + 1),

4160 + 52 q0 £ 4316 < 4160 + 52×( q0 + 1),

52 q0 £ 156 b и число разрядов в числах а и b одинаково, то частное q находим перебором, последовательно умножая b на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, так как а b и число разрядов в числе а больше, чем в числе b, то записываем делимое а и справа от него делитель b, который отделяем от а уголком и ведем поиск частного и остатка в такой последова­тельности:

а) Выделяем в числе а столько старших разрядов, сколько разрядов в числе b или, если необходимо, на один разряд больше, но так, чтобы они образовывали число d1, больше или равное b. Перебором нахо­дим частное q1 чисел d1 и b1 последовательно умножая b на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Записываем q1 под уголком (ниже b).

б) Умножаем b на q1 и записываем произведение под числом а так, чтобы младший разряд числа bq1 был написан под младшим разрядом выделенного числа d1.

в) Проводим черту под bq1 и находим разность r1 = d1 –bq1.

г) Записываем разность r1 под числом bq1, приписываем справа к r1 старший разряд из неиспользованных разрядов делимого а и сравниваем полученное число d2 с числом b.

д) Если полученное число d2 больше или равно b, то относительно него поступаем согласно п.1 или п.2. Частное q2 записываем после q1.

е) Если полученное число d2 меньше b, то приписываем еще столько следующих разрядов, сколько необходимо, чтобы получить первое число d2, большее или равное b. В этом случае записываем после q1 такое же число нулей. Затем относительно d3 поступаем согласно пп.1,2. Частное q2 записываем после нулей. Если при использовании младшего разряда числа а окажется, что d3 < b, то тогда частное чисел d3 и b равно нулю, и этот нуль записывается последним разрядом к частному, а остаток r = d3.




Просмотров 7309 Комментариев 0
Познавательно:
Скажи свое мнение:
Добавить комментарий
Имя:* E-Mail:*

Вопрос:
1+1=
Ответ:*
Введите два слова, показанных на изображении: *